ウィグナー の3j記号 あるいは3jm記号 は、クレブシュ-ゴルダン係数 を用いて次のように表される係数である。
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
≡
(
−
1
)
j
1
−
j
2
−
m
3
2
j
3
+
1
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
3
(
−
m
3
)
⟩
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}
j 1 - j 2 - m 3 が整数であることと、
m
3
→
−
m
3
{\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
3
m
3
⟩
=
(
−
1
)
j
1
−
j
2
+
m
3
2
j
3
+
1
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
−
m
3
)
.
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}
3j記号の対称性は、クレブシュ-ゴルダン係数よりも便利である。3j記号は、列の偶置換に対して不変である。
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
=
(
j
2
j
3
j
1
m
2
m
3
m
1
)
=
(
j
3
j
1
j
2
m
3
m
1
m
2
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}
奇置換では、位相因子が現れる。
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
2
j
1
j
3
m
2
m
1
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
1
j
3
j
2
m
1
m
3
m
2
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}
量子数mの符号の反転に対しても、位相因子が現れる。
(
j
1
j
2
j
3
−
m
1
−
m
2
−
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}
3j記号と3つの回転状態の積の、mの組み合わせに対する以下の和
∑
m
1
=
−
j
1
j
1
∑
m
2
=
−
j
2
j
2
∑
m
3
=
−
j
3
j
3
|
j
1
m
1
⟩
|
j
2
m
2
⟩
|
j
3
m
3
⟩
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
,
{\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}
は、回転に対して不変である。
(
2
j
+
1
)
∑
m
1
m
2
(
j
1
j
2
j
m
1
m
2
m
)
(
j
1
j
2
j
′
m
1
m
2
m
′
)
=
δ
j
j
′
δ
m
m
′
.
{\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.}
∑
j
m
(
2
j
+
1
)
(
j
1
j
2
j
m
1
m
2
m
)
(
j
1
j
2
j
m
1
′
m
2
′
m
)
=
δ
m
1
m
1
′
δ
m
2
m
2
′
.
{\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}
L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum , 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum , World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups , unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press, New York (1965).
