超弾性

超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

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構成則

弾性とは、ある位置${\boldsymbol {X}}$の応力がそこの変形勾配${\boldsymbol {F}}$で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力${\boldsymbol {P}}$を用いると、

${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})$

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期$t_{0}$における状態と$t$における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数$\Phi$が得られる。

$\Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt$

${\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}$

$\Phi ({\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {X}})$と考えると、${\dot {\Phi }}$は

${\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}$

と書ける。 これを:${\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}$と比較すると、$P_{iJ}$は

$P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}$

と書ける。結局、

${\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}$

と表される。ここで、 ${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}$より、$\Phi$を${\boldsymbol {C}}$の関数として表す。

$\Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})$

${\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}$より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力${\boldsymbol {S}}$について同様の式展開を行うと、

${\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}$

${\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}$

となる。

非圧縮性を有する場合

まず、${\boldsymbol {C}}$で表記した${\dot {\phi }}$の式を次のように変形する。

$\left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}\right):{\dot {\boldsymbol {C}}}=0$

非圧縮性を有することから、$J=1,{\dot {J}}=0$を${\dot {J}}={\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}$に代入して、

${\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}=0$

を得る。二つの式を比較して、

${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\gamma {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}$

を得る。今、$\gamma$は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は$J$のままの方が便利なので、$J=1$を代入していない。変形すると、

${\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}+\gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}$

ここで、$p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}$と定義すると、

$p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}+\gamma$

上の結果から、$\gamma$と$p$は

${\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}=0$

のときにのみ一致する。これは、$\Phi (\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi ({\boldsymbol {C}})$となるときに成立する。ここで、${\hat {\boldsymbol {C}}}=III_{C}^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}$によって新たな関数${\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})=\Phi ({\hat {\boldsymbol {C}}})$を定義する。${\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})$を用いると、${\hat {\Phi }}({\boldsymbol {\alpha C}})={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})$となることが次のように示される。

${\hat {\Phi }}(\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi [(\mathrm {det} \,\alpha {\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\alpha ^{3}\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}]={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})$

ここで、 $III_{C}=\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}}$を用いた。

非圧縮性の場合、$\Phi ({\boldsymbol {C}})$を${\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})$で代替できるため、${\boldsymbol {S}}$の式は次のように表される。

${\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+pJ{\boldsymbol {C}}^{-1}$

偏差成分${\boldsymbol {S}}'$は、

${\boldsymbol {S}}'=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}$

である。通常は、$\Phi ({\boldsymbol {C}})$と${\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})$は等しくないが、非圧縮性を有する場合、${\hat {\boldsymbol {C}}}={\boldsymbol {C}}$より成立する。

参考文献

• 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2。 
• 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
• Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press