超弾性(ちょうだんせい、Hyperelasticity)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数(単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル)を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十%~数百%の大ひずみ状態を想定している。

連続体力学


構成則

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弾性とは、ある位置 の応力がそこの変形勾配 で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 を用いると、

 

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 における状態と における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 が得られる。

 
 

 と考えると、 

 

と書ける。 これを: と比較すると、 

 

と書ける。結局、

 

と表される。ここで、  より、  の関数として表す。

 

 より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 について同様の式展開を行うと、

 
 

となる。

非圧縮性を有する場合

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まず、 で表記した の式を次のように変形する。

 

非圧縮性を有することから、  に代入して、

 

を得る。二つの式を比較して、

 

を得る。今、 は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は のままの方が便利なので、 を代入していない。変形すると、

 

ここで、 と定義すると、

 

上の結果から、  

 

のときにのみ一致する。これは、 となるときに成立する。ここで、 によって新たな関数 を定義する。 を用いると、 となることが次のように示される。

 

ここで、  を用いた。

非圧縮性の場合、  で代替できるため、 の式は次のように表される。

 

偏差成分 は、

 

である。通常は、  は等しくないが、非圧縮性を有する場合、 より成立する。

参考文献

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  • 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2 
  • 社団法人 土木学会 応用力学委員会 編:いまさら聞けない計算力学の常識,丸善,2008.
  • Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press