立方数

立方数（りっぽうすう、（英: cubic number）とは、図形数の一種であり、正の整数の3乗となる数である（例：8 = 2³ = 2 × 2 × 2）。図形的には1辺の長さが n の正六面体（立方体）の体積が立方数 n³ = n × n × n に対応する。

最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A578）。

立方数の性質

1を除く全ての立方数は、連続する2つの三角数の平方の差として表される。

$n^{3}=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}-\left\{{\dfrac {(n-1)n}{2}}\right\}^{2}\quad n\geqq 2$

立方数の列の第2階差数列は公差 6 の等差数列であり、第3階差数列は定数列 6である。したがって立方数の列は3階等差数列である。

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。

→詳細は「フェルマーの最終定理」を参照

立方数のうち平方数でもある数は n⁶ と表せる。また、約数を7個持つ数は全て素数を6乗した数である。

立方数の和

• 1 から n 番目の立方数 n³ までの和は n 番目の三角数の2乗に等しい：$\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$
  • 具体的には 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A000537）
• 立方数の逆数和は次の値に収束する：$\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx$
  • この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる
• すべての自然数は9個以下の立方数の和として表される（ウェアリングの問題）
  • このうち丁度9個の立方数の和で表される数は 23, 239 だけである
• 2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である
  • 負の整数を含めると絶対値最小は 91 = 3³ + 4³ = 6³ + (−5)³（ただし 0, 1 は除く）

→詳細は「キャブタクシー数」、「タクシー数」、および「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」を参照

• 奇数の立方和は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A002593）
• 偶数の立方和は 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A254371）
• 連続する3つの立方数の和は 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A027602）
• 連続する4つの立方数の和は 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である（オンライン整数列大辞典の数列 A027603）
• 連続する5つの立方数の和は 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375, …である（オンライン整数列大辞典の数列 A027604）
• 連続する立方数の和として複数通りに表せる数は 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A265845）
• 連続する3つ以上の立方数の和として表せる立方数は 216, 8000, 64000, 216000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A131643）

関連項目

• 立方根
• 3つの立方数の和
• 図形数
• 平方数
• 二重平方数（四乗数）
• 五乗数
• 三角数
• 累乗

脚注

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Cubic Number". mathworld.wolfram.com (英語).