積閉集合

抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、英: multiplicatively closed set）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、英: multiplicative set）は、（有限）積に関して閉じている集合を言う。

積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。

定義

単位的環 R の部分集合 S が積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件

• 1 ∈ S,
• x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S

を満たすときに言う。別な言葉で言えば、積閉集合 S は環 R の乗法モノイドの部分モノイドである。空積は 1 に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「S は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。

同様に、環 R の部分集合 S が飽和 (saturated) であるとは、それが「因子をとる操作に関して閉じている」(z ∈ S, z = xy ⇒ x, y ∈ S) ときに言う。

例

よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる:

• 可換環の素イデアルの補集合。
• 環の元 x を固定するとき、集合 {1, x, x², x³, …}。
• 環の単元全体の成す集合。
• 環の非零因子全体の成す集合。
• イデアル I に対する 1 + I。

性質

• 可換環 R のイデアル P が素イデアルであるための必要十分条件は、補集合 R ∖ P が積閉であることである。
• 部分集合 S が積閉かつ飽和となる必要十分条件は、それが素イデアルの合併の補集合となることである。特に素イデアルの補集合は積閉かつ飽和である。
• 積閉集合からなる族の交わりはまた積閉である。
• 飽和集合からなる族の交わりはまた飽和である。

関連項目

• 環の局所化
• 右分母集合
• π-系

参考文献

• M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, MR0345945 
• Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.