入射加群

数学において、入射加群（にゅうしゃかぐん、英: injective module）、あるいは移入加群（いにゅうかぐん）とは、関手 $Hom(-, E)$ が完全となるような加群 $E$ のことである。ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。

動機

一般の加群 $Q$ に対して反変関手 $Hom(-, Q)$ は左完全である。つまり任意の短完全列

0\to N\to M\to K\to 0

に対して

0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)

は完全である。この関手 $Hom(-, E)$ が完全となる、つまり

0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)\to 0

が完全となる加群 $Q$ のことを移入加群と呼ぶ。

移入加群の特徴づけ

$R$ を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 $R$ 加群、射はすべて左 $R$ 加群の準同型を指すことにする。加群 $Q$ が移入加群であることは次のいずれの条件とも同値である。

関手 $Hom(-, Q)$ が完全である、つまり任意の短完全列 $0 \to N \to M \to K \to 0$ に対して $0 \to Hom(K, Q) \to Hom(M, Q) \to Hom(N, Q) \to 0$ も短完全列である
任意の単射 $N \to M$ に対して $Hom(M, Q) \to Hom(N, Q)$ は全射である
任意の加群 $M$ と正の整数 $n$ に対して $Ext n (M, Q) = 0$
任意の巡回加群 $C$ に対して $Ext 1 (C, Q) = 0$
任意の単射 $f : X \to Y$ と射 $g : X \to Q$ に対して $h f = g$ となる射 $h : Y \to Q$ が存在する

任意の単射準同型 $f : Q \to M$ は分裂単射
任意の短完全列 $0 \to Q \to M \to K \to 0$ は分裂する

自己移入環

環 R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。

性質

$Q i$ はすべて移入加群 ⇔ $\prod Q i$ は移入加群

Baerの判定法

左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 L→Q に対して、その拡張 R→Q が存在することである。

移入分解と移入次元

加群 $M$ に対し、各 $Q_{i}$ が移入加群であるような次の完全列

0\to M\to Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{n}\to Q_{n+1}\to \cdots

を $M$ の移入分解という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての $i > n$ に対し $Q i = 0$ であるような移入分解を長さ $n$ の移入分解という。そのような $n$ が存在する場合その最小値を $M$ の移入次元といい、存在しない場合は移入次元は $\infty$ という。ただし、 ${0}$ の移入次元は $-1$ とする。移入次元は $id(M)$ と書かれる。 $R$ -加群 $M$ と整数 $n \geq 0$ に対して以下は同値。

$id(M) \leq n$ .
任意の $R$ -加群 $X$ に対して、 $\operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(X,M)=\{0\}.$
任意の i ≥ n+1 と任意の $R$ -加群 $X$ に対して、 $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(X,M)=\{0\}.$

参考文献

岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。
Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5. MR1653294