相関関数 (場の量子論)

場の量子論において、実空間のn点相関関数は、異なる位置での$n$個の場の演算子の積の平均(期待値)として定義される。

場の量子論
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史
背景 量子力学 場の理論 ゲージ理論 ヤン＝ミルズ理論 自発的対称性の破れ ポアンカレ群 対称性 荷電共役対称性 交叉対称性 パリティ 時間反転対称性（T対称性） 方法 量子異常（アノマリー） 有効場の理論 真空期待値 ファデエフ＝ポポフゴースト ファインマン・ダイアグラム 格子ゲージ理論 LSZ簡約公式 分配関数 伝播関数 量子化 繰り込み 真空状態 ウィックの定理 ワイトマンの公理系 方程式 ディラック方程式 クライン–ゴルドン方程式 プロカ方程式 ホイーラー・ドウィット方程式 標準模型 量子電磁力学 量子色力学 ワインバーグ＝サラム理論 ヒッグス機構 未完成理論 量子重力理論 弦理論 超対称性 テクニカラー 万物の理論 科学者 アドラー • ベーテ • ボゴリューボフ • カラン • キャンドリン • コールマン • ドウィット • ディラック • ダイソン • フェルミ • ファインマン • フィールツ • フレーリッヒ • ゲルマン • ゴールドストーン • グロス • トホーフト • ジャッキーヴ • クライン • ランダウ • 李政道 • レーマン • マヨラナ • 南部 • パリージ • ポリャコフ • アブドゥッサラーム • シュウィンガー • スキルム • シュテュッケルベルク • シマンチク • 朝永 • フェルトマン • ワインバーグ • ワイスコフ • ウィルソン • ウィルチェック • ウィッテン • 楊振寧 • 湯川 • ジマーマン

$C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ldots \phi (x_{n})}{\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}}}$

時間依存する相関関数では、時間順序積$T$が含まれる。

場の量子論での相関関数はグリーン関数とも呼ばれる。

相関関数の性質

場の量子論での相関関数とその性質について以下に示す。

最も単純な実時間についての相関関数は、次のように2つの演算子の積の平均をとったものである。

$S_{AB}(t,t')=\langle A(t)B(t')\rangle$

ここで、場の量子論では粒子の生成・消滅が起こるため、平均$\langle \quad \rangle$としてグランドカノニカル平均を採用する。よってハイゼンベルク描像での演算子$A(t),B(t)$の時間依存性は、ハミルトニアンのみの形$e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }$ではなく、次のように化学ポテンシャルを含んだ形で決定される。

$A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hbar }Ae^{-i(H-\mu N)t/\hbar }$

この相関関数$S_{AB}(t,t')$を具体的に計算してみると、tとt'に独立に依存するのではなく、その差t-t'の関数であることがわかる。よって以下では$S_{AB}(t-t')$と書くことにする。t'=0のときは$S_{AB}(t)$である。このフーリエ変換は、次のように定義される。

$S_{AB}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt$

この相関関数のフーリエ変換は、次のような性質を持つ。

$S_{BA}(\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{AB}(\omega )$

$S_{AA^{\dagger }}(\omega )\geqq 0$

$S_{AB}^{*}(\omega )=S_{B^{\dagger }A^{\dagger }}(\omega )$

$\int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger }\rangle ^{1/2}\langle B^{\dagger }B\rangle ^{1/2}$

$\int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|e^{\beta \hbar \omega }d\omega \leqq \langle A^{\dagger }A\rangle ^{1/2}\langle BB^{\dagger }\rangle ^{1/2}$

このような単純な積の平均で表される相関関数の他に、以下のようなものがよく用いられる。

• 交換子または反交換子の平均：$\langle [A(t)B(t')]_{\pm }\rangle$

先進グリーン関数や遅延グリーン関数で用いられる。

• 時間順序積の平均：$\langle T[A(t)B(t')]\rangle$

温度グリーン関数で用いられる（ただし温度グリーン関数は実時間ではなく虚時間$\tau =it$についてのグリーン関数である）。

関連項目

• グリーン関数 (多体理論)
• 連結相関関数(Connected correlation function)
• 相関は因果を含まない(Correlation does not imply causation)
• 一粒子既約相関関数(One particle irreducible correlation function)
• 分配関数 (数学)

参考文献

• Alexander Altland, Ben Simons (2006): Condensed Matter Field Theory Cambridge University Press