百二十角形

百二十角形（ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon）は、多角形の一つで、120本の辺と120個の頂点を持つ図形である。内角の和は21240°、対角線の本数は7020本である。

正百二十角形

正百二十角形

正百二十角形においては、中心角と外角は3°で、内角は177°となる。一辺の長さが a の正百二十角形の面積 S は

$S={\frac {120}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{120}}\simeq 1145.65378a^{2}$

$\cos(2\pi /120)$は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。

$\cos {\frac {2\pi }{120}}=\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}$

正弦、余弦の値

${\begin{aligned}\sin 3^{\circ }=&{\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)-2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}}\\\cos 3^{\circ }=&{\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)+2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}}\\\end{aligned}}$

正百二十角形の作図

正百二十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

関連項目

• 三角形
• 四角形
• 五角形
• 六角形
• 八角形
• 十角形
• 十二角形
• 十五角形
• 二十角形
• 二十四角形
• 三十角形
• 四十角形
• 六十角形
• 二百四十角形
• 三百六十角形
• 六百角形
• 七百二十角形