数学 において特性曲線法 （とくせいきょくせんほう、英 : method of characteristics ）とは、偏微分方程式 に対する一つの解法である。一般には一階偏微分方程式 に対して適用されるが、任意の双曲型偏微分方程式 に対するより一般の特性曲線法も存在する。この方法では偏微分方程式を、常微分方程式の族に書き下し、適切な超曲面 上で与えられたいくつかの初期データより積分されることによってその線に沿った解が得られる。
一階の偏微分方程式 （PDE）に対する特性曲線法では、それが常微分方程式 （ODE）となるようなある曲線（特性曲線あるいは単に特性線と呼ばれる）を探すことになる。そのようなODEが見つかれば、特性曲線に沿って解いた後に元のPDEに対して解を変換すれば良いことになる。
ここで、二つの独立変数 x と y の函数のケースを取り上げる。次の形の準線型 [要曖昧さ回避 偏微分方程式を考える：
a
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
∂
x
+
b
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
∂
y
=
c
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).}
(1 )
ここで、解 z が得られたとして、R 3 内の曲面のグラフ z = z (x ,y ) を考える。この曲面に対する法線ベクトル は次で与えられる。
(
∂
z
∂
x
(
x
,
y
)
,
∂
z
∂
y
(
x
,
y
)
,
−
1
)
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,}
これは次のようにして分かる。x,y方向の接ベクトルをそれぞれ
n
1
{\displaystyle n_{1}}
n
2
{\displaystyle n_{2}}
n
1
=
(
1
,
0
,
∂
z
/
∂
x
)
d
x
{\displaystyle n_{1}=(1,0,\partial z/\partial x)dx}
n
2
=
(
0
,
1
,
∂
z
/
∂
y
)
d
y
{\displaystyle n_{2}=(0,1,\partial z/\partial y)dy}
したがって[ 1] 1
(
a
(
x
,
y
,
z
)
,
b
(
x
,
y
,
z
)
,
c
(
x
,
y
,
z
)
)
{\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}
が全ての点において曲面 z = z (x , y ) に接するという幾何学的な内容を意味する。言い換えると、解はこのベクトル場の積分曲線 の合併となる。これらの積分曲線は、元の偏微分方程式の特性曲線 と呼ばれる。
特性曲線の方程式は、ラグランジュ＝シャルピ方程式 によって次のように不変な形で表すことが出来る[ 2]
d
x
a
(
x
,
y
,
z
)
=
d
y
b
(
x
,
y
,
z
)
=
d
z
c
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}
また、この曲線のパラメータ化 t が固定された場合、これらの方程式は x (t ), y (t ), z (t ) に対する次の連立常微分方程式として書くことが出来る。
d
x
d
t
=
a
(
x
,
y
,
z
)
,
d
y
d
t
=
b
(
x
,
y
,
z
)
,
d
z
d
t
=
c
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}}
これらを元の偏微分方程式の特性方程式 (characteristic equation) という。
次の形式のPDEを考える。
∑
i
=
1
n
a
i
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
)
∂
u
∂
x
i
=
c
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
)
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}
このPDEを線型 とするためには、係数 a i u には独立とすればよい。準線型とするためには、a i
線型あるいは準線型のPDEに対し、特性曲線はパラメータ的に次で与えられる。
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
)
=
(
x
1
(
s
)
,
…
,
x
n
(
s
)
,
u
(
s
)
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))}
但し次の常微分方程式系が満たされるものとする。
d
x
i
d
s
=
a
i
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
)
{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)}
(2 )
d
u
d
s
=
c
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
)
.
{\displaystyle {\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}
(3 )
式 (2 3
次の偏微分方程式を考える。
F
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
,
p
1
,
…
,
p
n
)
=
0
{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0}
(4 )
ここで変数 p i は次の偏微分を略記したものである。
p
i
=
∂
u
∂
x
i
.
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}
R n +1xi , u ) が偏微分方程式の解であるとする。解の超曲面の上にある任意の滑らかな(微分可能な)曲線を特性曲線と言い、s を曲線長さに沿うパラメータとして、曲線上の各点は次のように表されるものとする。
u
(
s
)
=
u
(
x
1
(
s
)
,
…
,
x
n
(
s
)
)
.
{\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}
また、解の曲面の方向は、この特性曲線の各点での接線の傾き
p
i
=
∂
u
∂
x
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}
4 s に関して微分すると、次が得られる。
∑
i
(
F
x
i
+
F
u
p
i
)
x
˙
i
+
∑
i
F
p
i
p
˙
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}
(5 )
u
˙
−
∑
i
p
i
x
˙
i
=
0
{\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}
(6 )
∑
i
(
x
˙
i
d
p
i
−
p
˙
i
d
x
i
)
=
0.
{\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}
(7 )
式(6)は、解 u に対して連鎖律を適用することで得られる。また式(7)の括弧内は
x
i
˙
d
p
i
−
p
i
˙
d
x
i
=
d
x
i
d
s
d
p
i
d
s
d
s
−
d
p
i
d
s
d
x
i
d
s
d
s
=
0.
{\displaystyle {\dot {x_{i}}}dp_{i}-{\dot {p_{i}}}dx_{i}={\frac {dx_{i}}{ds}}{\frac {dp_{i}}{ds}}ds-{\frac {dp_{i}}{ds}}{\frac {dx_{i}}{ds}}ds=0.}
だから式(7)が成立する。
λ をある定数として λ ×(5)+(7)/ds を 作ると次の式(8)となる。
∑
i
(
λ
(
F
x
i
+
F
u
p
i
)
+
p
˙
i
)
(
d
x
i
/
d
s
)
+
∑
i
(
λ
F
p
i
−
x
˙
i
)
(
d
p
i
/
d
s
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i}(\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i})(dx_{i}/ds)+\sum _{i}(\lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i})(dp_{i}/ds)=0}
(8 )
式(8)はその点を通る任意の特性曲線 x i s )に対して成り立つ。特性曲線 x i s )が任意に変わると、dx i ds およびdp i ds はそれに応じて変わってしまう変数である。それでも式(8)が成り立つためには、dx i ds およびdp i ds の係数は 0 でなければならない。よって
λ
(
F
x
i
+
F
u
p
i
)
+
p
˙
i
=
0
,
λ
F
p
i
−
x
˙
i
=
0
,
.
{\displaystyle \quad \lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i}=0,\quad \lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i}=0,.}
x
˙
i
=
λ
F
p
i
,
p
˙
i
=
−
λ
(
F
x
i
+
F
u
p
i
)
.
{\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}).}
この
x
˙
i
=
λ
F
p
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}}}
u
˙
−
λ
∑
i
p
i
F
p
i
=
0
,
u
˙
=
λ
∑
i
p
i
F
p
i
.
{\displaystyle \quad {\dot {u}}-\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}=0,\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}.}
ここに λ はある定数である。これらの式をより対称的に書くと、特性曲線に対する次のラグランジュ＝シャルピ方程式が得られる。
x
˙
i
F
p
i
=
−
p
˙
i
F
x
i
+
F
u
p
i
=
u
˙
∑
p
i
F
p
i
.
{\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}
(9 )
幾何学的に、完全に非線型の場合の特性曲線法は、微分方程式のモンジュ錐 （英語版 ）
一例として、次の移流方程式 が挙げられる（この例ではPDEの記法や基本的なODEの解についてはよく知っているものと仮定する）。
a
∂
u
∂
x
+
∂
u
∂
t
=
0
{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\,}
ここに
a
{\displaystyle a\,}
u
{\displaystyle u\,}
x
{\displaystyle x\,}
t
{\displaystyle t\,}
d
d
s
u
(
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
=
F
(
u
,
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))}
ここに
(
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
{\displaystyle (x(s),t(s))\,}
d
d
s
u
(
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
=
∂
u
∂
x
d
x
d
s
+
∂
u
∂
t
d
t
d
s
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}
今、
d
x
d
s
=
a
{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}
d
t
d
s
=
1
{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}
a
∂
u
∂
x
+
∂
u
∂
t
{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\,}
これははじめのPDEの左辺である。したがって
d
d
s
u
=
a
∂
u
∂
x
+
∂
u
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}
が得られる。したがって、特性曲線
(
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
{\displaystyle (x(s),t(s))\,}
u
s
=
F
(
u
,
x
(
s
)
,
t
(
s
)
)
=
0
{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0\,}
u
(
x
s
,
t
s
)
=
u
(
x
0
,
0
)
{\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)\,}
(
x
s
,
t
s
)
{\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}
(
x
0
,
0
)
{\displaystyle (x_{0},0)\,}
d
t
d
s
=
1
{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}
t
(
0
)
=
0
{\displaystyle t(0)=0\,}
t
=
s
{\displaystyle t=s\,}
d
x
d
s
=
a
{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}
x
(
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(0)=x_{0}\,}
x
=
a
s
+
x
0
=
a
t
+
x
0
{\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}\,}
d
u
d
s
=
0
{\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}
u
(
0
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle u(0)=f(x_{0})\,}
u
(
x
(
t
)
,
t
)
=
f
(
x
0
)
=
f
(
x
−
a
t
)
{\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)\,}
この場合、特性曲線は傾きが
a
{\displaystyle a\,}
u
{\displaystyle u\,}
X を可微分多様体 とし、P を次数 k の線型微分作用素
P
:
C
∞
(
X
)
→
C
∞
(
X
)
{\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}
とする。局所座標系 x i
P
=
∑
|
α
|
≤
k
P
α
(
x
)
∂
∂
x
α
{\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}
とする。ここで α は多重指数 である。P の主表象 は σP 余接束 T∗ X に関する次の函数である。
σ
P
(
x
,
ξ
)
=
∑
|
α
|
=
k
P
α
(
x
)
ξ
α
{\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}
ここに ξi x i i x i P
函数 σP k の斉次函数 である。σP ∗ X のゼロ切断とは離れた所にあり、P の特性曲線である。式 F (x ) = c によって定義される X の超曲面が、x での特性超曲面であるとは、
σ
P
(
x
,
d
F
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0}
が成立することを言う。特性超曲面は、余法束 （英語版 ） P の特性集合に属する超曲面である。
特性曲線はまた、PDEへの定性的な洞察を得る上での強力な道具となる。
圧縮性流体におけるポテンシャルフローに対する衝撃波 を見つけるために、特性曲線の交点を利用することが出来る。直感的に言うと、各特性曲線はそれ自身に沿った
u
{\displaystyle u\,}
特性曲線は、PDEの定義域の一部分をカバーしないこともある。この事実は希薄化 （英語版 ） 積分方程式 に対してのみ解が存在することを意味する。
特性曲線の方向は、上述の例で示したように、解に沿った値のフローを示すものである。この種の知識は、問題に対して有限差分 が最適であるように示すものであるため、PDEを数値的に解く上で有用となる。
Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II , Wiley-Interscience Delgado, Manuel (1997), “The Lagrange-Charpit Method” , SIAM Review 39 (2): 298–304, Bibcode : 1997SIAMR..39..298D , doi :10.1137/S0036144595293534 , JSTOR 2133111 , https://jstor.org/stable/2133111 Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 Sarra, Scott (2003), “The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws”, Journal of Online Mathematics and its Applications Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 
