淡中圏(たんなかけん、tannakian category)とは与えられたKに関係するある付加的な構造を備えた、ある種のモノイダル圏Cである。

そのような圏Cの役割は、K上定義された代数群Gの線形表現の圏をおおよそ見積もることにある。この理論の多数の応用が今までになされてきた。

解説

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名前の由来はコンパクト群Gとそれらの表現に関する淡中・クライン双対性である。この理論ははじめアレクサンドル・グロタンディークのセミナーで発展し、その後にドリーニュによって再考され、幾分簡易化された。理論は、副有限群あるいはコンパクト群Gの有限組み合わせ的な表現に関する理論であるグロタンディークのガロア理論に似ている。

より詳しくはSaavedra Rivanoの論評にあるが、理論の要点はガロア理論ファイバー関手 Cから  へのテンソル関手Tに置き換えることにある。  からそれ自身への自然変換がなす群、すなわちガロア理論における副有限群はTからそれ自身へのテンソル構造を保つ自然変換のなす(単にモノイドとする場合もある)に置き換える。これは代数群ではないが、代数群の逆極限(すなわち副代数群)である。

応用

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群の表現論の立場からホッジ構造あるいはl進表現が考えられる場合にこの構成が使われる。たとえばマンフォード・テイト群あるいはモチヴィックガロア群は1-コホモロジー群あるいはガロア加群が生成する淡中圏を考えることにより、構成することができる。

これら応用の範囲はモチーフの理論と密接に関係している。淡中圏が用いられる別の例ではグロタンディーク-カッツ-p曲率予想、あるいはモノドロミー群と関連づいている。

形式的な定義

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ニュートラル淡中圏とは、K-ベクトル空間の圏への忠実充満なK-テンソル関手を備えたリジッド-アーベル-テンソル圏である。

参考文献

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  • N. Saavedra Rivano, Catégories Tannakiennes, Springer LNM 265, 1972
  • Pierre Deligne and J. S. Milne, Tannakian categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties by Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982, 414pp.
  • Pierre Deligne, Catégories tannakiennes. In The Grothendieck Festschrift, Volume 2, 111--195. Birkhauser, 1990.

関連項目

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外部リンク

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