正準変換

ハミルトン形式の解析力学において、正準変換（せいじゅんへんかん、英: canonical transformation）とは、正準変数を新たなハミルトンの運動方程式を満たす新しい正準変数に写す変数変換。正準変換の下では、正準変数である一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合うことができ、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。

概要

ハミルトン力学では、一般化座標 $q i (i =1,.., n)$ と対応する一般化運動量 $p i (i =1,.., n)$ の組からなる、正準変数 $(q, p) = (q 1,..., q n; p 1,..., p n)$ が独立な変数となる。

相空間上の運動は、正準変数と時間 $t$ の関数であるハミルトニアン $H (q, p, t)$ を用いて、ハミルトンの運動方程式

{\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}

によって記述される。但し、ドット記号は時間微分を表す。

ここで、正準変数と時間の関数である新たな変数

{\begin{aligned}Q_{i}&=Q_{i}(q,p,t)\\P_{i}&=P_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\dots ,n)\end{aligned}}

が新たな正準変数となるとき、すなわち、新たなハミルトニアン $K (Q, P, t)$ が存在して、

{\begin{aligned}{\dot {Q_{i}}}&={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}\\{\dot {P_{i}}}&=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}\end{aligned}}

が成り立つとき、 $(q, p) \to(Q, P)$ を正準変換という^[1]。正準変換の下では、一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合い、等価な役割を果たす。

但し、新たなハミルトニアンが存在し、正準方程式を満たす変数変換を正準変換とする定義は広すぎるため、通常は母関数を通じて構成され、ポアソン括弧を不変に保つものを正準変換として限定する^[2]^[3]。例えば、定数 $a$ によるスケール変換

{\begin{aligned}Q_{i}=aq_{i},\quad P_{i}=ap_{i}\\K=a^{2}H\end{aligned}}

や $q i$ 、 $p i$ の入れ替えとハミルトニアンの負号を変えた変換

Q_{i}=p_{i},\quad P_{i}=q_{i}

K=-H

は正準方程式を満たすが、正準変換には含めない^[2]^[3]。

母関数による構成

正準変換を構成する標準的な手法は、母関数を用いる手法である。ハミルトンの運動方程式は、作用

S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right\}dt

の変分 $δS$ を最小にするというハミルトンの原理（英語版）から導かれる。したがって、新旧の正準変数とハミルトニアンの間には

\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-K(Q,P,t)+{\frac {d}{dt}}W

という関係式が成り立つ^{[注 1]}。但し、 $W = W (q, p, Q, P, t)$ は新旧の正準変数と時間の任意の関数である。

特に、 $(q, p, Q, P)$ の中から独立な変数として二つを選び、 $W$ を定めた場合、両辺の独立な変数に対する微分を考えることで、 $Q i = Q i (q, p, t)$ 、 $P i = P i (q, p, t)$ を定めることができる。この場合、関数 $W$ を与えることで、正準変換が定まることから、 $W$ を正準変数の母関数と呼ぶ。二つの独立な変数の選び方に応じて、四つのタイプの母関数が存在する。

タイプ1

独立な変数として $(q, Q)$ を選んだ場合、 $W 1 = W 1 (q, Q, t)$ はタイプ1の母関数と呼ばれる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。

p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}

タイプ2

タイプ1の母関数 $W 1 = W 1 (q, Q, t)$ に対し、ルジャンドル変換

W_{2}(q,P,t)=W_{1}(q,Q,t)+\sum _{i=1}^{n}Q_{i}P_{i}

を施せば、独立な変数として $(q, P)$ を選んだ場合であるタイプ2の母関数 $W 2 = W 2 (q, P, t)$ が得られる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。

Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}},\,\,p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{2}}{\partial t}}

タイプ3

タイプ1の母関数 $W 1 = W 1 (q, Q, t)$ に対し、ルジャンドル変換

W_{3}(Q,p,t)=W_{1}(q,Q,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}

を施せば、独立な変数として $(Q, p)$ を選んだ場合であるタイプ3の母関数 $W 3 = W 3 (Q, p, t)$ が得られる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。

q_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial p_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{3}}{\partial t}}

タイプ4

タイプ2の母関数 $W 2 = W 2 (q, P, t)$ に対し、ルジャンドル変換

W_{4}(p,P,t)=W_{2}(q,P,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}

を施せば、独立な変数として $(p, P)$ を選んだ場合であるタイプ3の母関数 $W 4 = W 4 (p, P, t)$ が得られる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。

q_{i}=-{\frac {\partial W_{4}}{\partial p_{i}}},\,\,Q_{i}={\frac {\partial W_{4}}{\partial P_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{4}}{\partial t}}

例

恒等変換

正準変換の最も簡単な例は、恒等変換 $Q = q$ 、 $P = p$ である。この場合、新たなハミルトニアンは $K (Q, P, t)= H (q, p, t)$ と不変である。

この正準変換の母関数は

W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}

であり、この場合、新旧の正準変数の間には

p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}}=P_{i}

Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}}=q_{i}

の関係が満たされている。

一般化座標と一般化運動量の交換

任意の系において、一般化座標と一般化運動量の符号を込めた交換

Q_{i}=p_{i}

P_{i}=-q_{i}\quad (i=1,\cdots ,n)

は正準変換である。この場合、新たなハミルトニアンは $K (Q, P, t)= H (q, p, t)= H (-P, Q, t)$ と不変である。

この正準変換の母関数は

W_{1}(q,Q)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}Q_{i}

であり、この場合、新旧の正準変数の間には

p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}}=-q_{i}

の関係が満たされている。

一次元調和振動子

質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の一次元調和振動子では、ハミルトニアンは

H(q,p)={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}

で与えられる。母関数を

W_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\operatorname {cot} {Q}

で与えると、新旧の正準変数の間には

p={\frac {\partial W_{1}}{\partial q}}=m\omega q\operatorname {cot} {Q}

P=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q}}={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}{\frac {1}{\sin ^{2}{Q}}}

の関係が成り立つ。

また、新しいハミルトニアンは、

K(Q,P)=H(q,p)=\omega P

と $P$ だけの関数となる。すなわち、 $Q$ は循環座標である。この場合、 $Q$ と $P$ の時間発展は、

Q(t)=\omega t+\beta

P(t)={\frac {E}{\omega }}=\operatorname {const.}

と簡単な形で求まる。但し、 $β$ は任意の定数、 $E$ は保存量である系のエネルギーである。

ゲージ変換

電磁ポテンシャルのゲージ変換は、座標 $q$ を変化させない正準変換

Q_{i}=q_{i},

P_{i}=p_{i}+e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}

に対応する^[4]。この正準変換の母関数は

W_{1}(q,P,t)=\sum _{i}q_{i}P_{i}-eu(q,t)

であり、新旧の正準変数の間には

Q_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial P_{i}}}=q_{i},

p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=P_{i}-e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}},

H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}=K+e{\frac {\partial u}{\partial t}}

の関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアン $H$ が電磁ポテンシャル $ϕ, A$ を用いて

H={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(p_{i}-eA_{i})^{2}+e\phi

で表されることから、新しい正準変数でも同じ形式

K={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(P_{i}-eA'_{i})^{2}+e\phi '

が成り立つことが分かる。ここで $ϕ', A'$ はゲージ変換した電磁ポテンシャル

\phi '=\phi -{\frac {\partial u}{\partial t}},

A'_{i}=A_{i}+{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}

である。

正準変換の性質

ポアソン括弧の不変性

正準変換 $(q, p) \to(Q, P)$ に対し、ポアソン括弧は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を ${ , } q,p$ 、新しい正準変数に対するポアソン括弧を ${ , } Q,P$ と表すと、

$\{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}$

が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、

\{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0

\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0

\{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta _{ij}\quad (i=1,\cdots ,n)

が満たされていればよい。但し、 $δ ij$ はクロネッカーのデルタである。

群の構造

正準変換は次の性質を満たしており、群の構造を持つ。

恒等変換は正準変換である。
正準変換に対し、逆変換が存在し、逆変換も正準変換となる。
２つの正準変換の合成は正準変換である。
正準変換の合成は結合法則を満たす。

微小正準変換と対称性

微小正準変換

正準変数 $(q, p)$ を微小変化させる微小正準変換

Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}(q,p,t)

P_{i}=p_{i}+\delta p_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)

の母関数は、恒等変換を与える母関数に $ε G (q, P, t)$ を加えた

W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}+\epsilon G(q,P,t)

の形で与えられる。但し、 $ε$ は微小定数、 $G (q, P, t)$ は任意の関数である。

このとき、微小変化 $(δ q, δ p)$ は

\delta q_{i}(q,p,t)=\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial p_{i}}}

\delta p_{i}(q,p,t)=-\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial q_{i}}}

となる。任意の力学量 $F (q, p, t)$ に対し、微小正準変換に対する変化

\delta F=F(q+\delta q,p+\delta p,t)-F(q,p,t)

は、ポアソン括弧を用いて、

\delta F=\epsilon \{F,G\}_{p,q}

で与えられる。

例

時間発展

$G$ として、ハミルトニアン $H (q, p, t)$ をとれば、

\delta q_{i}=\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p_{i}}}=\epsilon {\dot {q}}_{i}

\delta q_{i}=-\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q_{i}}}=\epsilon {\dot {p}}_{i}

であるから、正準変換は

Q_{i}=q_{i}(t)+\delta q_{i}=q_{i}(t+\epsilon )

P_{i}=p_{i}(t)+\delta p_{i}=p_{i}(t+\epsilon )

となる。すなわち、微小時間 $ε$ における時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、 $(q, p)$ の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。

リウヴィルの定理

→詳細は「リウヴィルの定理 (物理学)」を参照

相空間の体積要素

\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=dq_{1}dp_{1}\cdots dq_{n}dp_{n}

は正準変換 $(q, p) \to(Q, P)$ の下、不変となる。

\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}

したがって、相空間のある領域 $γ$ が正準変換により、領域 $Γ$ に写されるとすると、

\int \cdots \int _{\gamma }\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\int \cdots \int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}

が成り立つ。すなわち、領域 $γ$ の体積は正準変換 $(q, p) \to(Q, P)$ で不変に保たれる。

特に、時間発展は正準変換の特別な例であり、領域 $γ(t)$ の時間発展を考えると、リウヴィルの定理

\int \cdots \int _{\gamma (t)}\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\operatorname {const.}

が導かれる。

ハミルトン-ヤコビの理論

→詳細は「ハミルトン-ヤコビ方程式」を参照

新ハミルトニアンが恒等的にゼロ $K(Q, P, t)\equiv0$ となる正準変換 $(q, p) \to(Q, P)$ を考えると、ハミルトンの運動方程式は

{\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0

{\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\quad (i=1,\cdots ,n)

と簡単な形になる。このとき、新たな正準変数 $(Q, P)$ は定数 $(β, α)$ となる。

Q_{i}=\beta _{i}

P_{i}=\alpha _{i}\quad (i=1,\cdots ,n)

このような正準変換を生む母関数として、タイプ2の母関数 $S = W 2 (q, P, t)$ を選べば、母関数 $S (q, P, t)$ と元のハミルトニアン $H(q, p, t)$ の間には、

H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0

という関係式が成り立つ。但し、 $K(Q, P, t)\equiv0$ と $p i =\partial S/\partial q i$ であることを用いている。この1階の偏微分方程式をハミルトン-ヤコビ方程式という。

幾何学的観点

→詳細は「シンプレクティック同相写像」を参照

脚注

[脚注の使い方]

注

^ 実際は、左辺に定数 $λ\neq0$ を乗じる自由度があるが、正準変数のスケール変換を考えることで $λ=1$ としてよい。(H. Goldstein，C. Poole and J. Safko（2000）chapter.9を参照)

出典

^ 並木 (1991)、§5.1
^ ^a ^b 江沢 (2007)、§6.2
^ ^a ^b 畑 (2014)、§7.1
^ 冨田博之. “正準変換覚え書き - 簡単な場合ほど面食らう？”. 2022年6月18日閲覧。

参考文献

Herbert Goldstein; Charles Poole; John Safko (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0201657029
Jorge V. José; Eugene J. Saletan (2013). Classical Dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge University Press. ISBN 978-0521636360
江沢洋『解析力学』培風館〈新物理学シリーズ〉、2007年。ISBN 978-4563024369。
畑浩之、植松恒夫 (編集)、青山秀明 (編集)、益川敏英 (監修)『解析力学』東京図書〈基幹講座物理学〉、2014年。ISBN 978-4489021688。
並木美喜雄『解析力学』丸善出版〈パリティ物理学コース〉、1991年。ISBN 978-4621036372。
山本義隆、中村孔一『解析力学I』朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、1998年。ISBN 978-4254136715。
山本義隆、中村孔一『解析力学II』朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、1998年。ISBN 978-4254136722。