数学とくに射影幾何学における(そく、: pencil, : faisceau[注釈 1])は、初めデザルグによって、与えられた特定の一点を通る直線全体の成す族を幾何学的対象として捉えたものを指すものとして用いられた。

直線束?
直線束?
アポロニウスの円束
アポロニウスの円束

束の典型的なものは、射影平面上の二つの曲線 C = 0, C' = 0 に対して二つの実数 λ, μ を助変数とする曲線族

 

として与えられる束である。この曲線の束に属する曲線は λμ との比 [λ : μ] ごとに一つ定まる。[λ : μ] を射影平面上の点の斉次座標と看做せば、対応する非斉次座標に関して C = 0 または C' = 0 のいずれか一方は無限遠にある。

 
円束の例: 円束 x² + y² + kx − (k + 4) = 0 に属する円をいくつかの k について示したもの。これらの円はすべて、円 x2 + y2 = 4 と直線 x = 1 との交点を通る。直線 x = 1 は無限遠点に対応するため、対応する k に有限な値は定まらない。

例えば二直線 C = 0, C' = 0 が有限領域内に交点を持てば、束 λC + μC' = 0 がその交点を通る直線の一群であることはすぐに判る。これを C, C' に関する直線束と呼ぶ。二直線の交点が無限遠にある(つまり二つの直線が平行である)とすれば、対応する直線束はその平行な二直線に平行な直線たちからなる。

また例えば、C = 0, C' = 0 が交点を持つ二つの円ならば、束 λC + μC' = 0 は二円の交点をとおる円の集まりであり、C, C' に関する円束という。

あるいは一般に

 

C0, …, Ck に関する k-次の束 (pencil of order k) と呼ぶ。

与えられた一直線を通る平面の全体の成す族である平面束はしばしば (fan) と呼ばれる[注釈 2]

注釈

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  1. ^ faisceau の英訳として sheaf がしばしば用いられる。また、faisceau (sheaf) の語はここで扱う概念とは異なる数学的対象に対しても用いられ、それは日本語ではと訳される。
  2. ^ 扇または扇形と訳すことが多いが、扇形 (sector) とはあまり関係はなく、換気扇やジェットエンジンのファンのようなブレードがぐるりとついているもののイメージからの命名のようである

出典

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関連項目

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外部リンク

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  • Weisstein, Eric W. "Pencil". mathworld.wolfram.com (英語).
  • pencil - PlanetMath.(英語)