擬絶対値
数学における擬絶対値(ぎぜったいち、英: pseudo-absolute value, 独: Pseudobetrag)は、絶対値よりも条件の緩い類似の概念である。
定義
編集R を単位的環とする。非負実数値函数 |•|: R → R+ が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: a, b ∈ R を任意として
- 定値性:
- 劣乗法性:
条件 3 の代わりにより強く
- 3a. 乗法性:
を満たすものは絶対値と言う。
擬絶対値 |•| が非アルキメデス的とは
を満たすときに言う。
性質
編集例
編集以下 (R, |•|) は擬絶対値持つ単位的環とする。
多項式環の擬絶対値
編集多項式環 R[X] または多変数の R[X1, …, Xn] はそれ自体(多項式の積に関して)単位的環を成す。ここでたとえば、1-擬ノルムは多項式環上の擬絶対値を与える。
行列環の擬絶対値
編集同様に行列環 Rn×n も(行列の積に関して)単位的環を成し、ここでも 1 ≤ p ≤ 2 なる各実数 p に対する p-擬ノルムが行列環上の擬絶対値を与える。