多項式時間近似スキーム

計算機科学において、多項式時間近似スキーム（英: polynomial-time approximation scheme、PTAS）は(大抵NP困難であるような)最適化問題に対する近似アルゴリズムの一種である。

PTASは最適化問題のインスタンスとパラメータ $\varepsilon >0$ を入力として受け取り、多項式時間内に最適解の $1+\varepsilon$ 倍以下の解を求めることのできるアルゴリズムである（最大化問題の場合は $1-\varepsilon$ 倍以上）。例えば、ユークリッド距離に基づく巡回セールスマン問題では、最適解の長さを $L$ としたとき、高々 $(1+\varepsilon )L$ の解を見つけることができる。

PTASの実行時間は、$\varepsilon$ を固定すると、問題の大きさ $n$ の多項式であることが求められるが、$\varepsilon$ に対しては定められていない。このため、実行時間が $O(n^{1/\varepsilon })$ や $O(n^{\exp(1/\varepsilon )})$ オーダーであっても、PTASである。

変形

決定的

PTASアルゴリズムがある現実的な問題は、εを小さくすると多項式の指数部が劇的に大きくなってしまう（例えば $O(n^{(1/\varepsilon )!})$ のように）。この問題に対処するひとつの方法が効率的な多項式時間近似スキーム（EPTAS）と呼ばれる、実行時間が $c$ を $\varepsilon$ と独立な定数として、$O(n^{c})$ であるようなアルゴリズムである。この場合、どのようなεを選んでも問題の大きさは実行時間に与える影響は等しくなる。しかし、O記法における定数はεに対して任意に大きくなりうる。これに対してより強い制約として、実行時間が問題の大きさ $n$ と $1/\varepsilon$ 両方の多項式時間であるものを完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）と呼ぶ。 ナップサック問題はFPTASがある問題の例である.

多項式的に有界な目的関数を持つどんな強度にNP困難な最適化問題も、P=NPでない限り、FPTASを持ち得ない。 しかし、逆は真ではない。例えば、P≠NPのとき、2つの制約をもつナップサック問題はFPTASを持たないが、たとえ目的関数が多項式的に有界の場合でも強度にNP困難ではない。

P=NPでない限り、$FPTAS\subsetneq PTAS\subsetneq APX$ が成り立つ。すなわち、同じ仮定の下で、APX困難な問題はPTASを持たない。

別の決定論的なPTASの変形として、準多項式時間近似スキーム（QPTAS）がある。QPTASはある固定された $\varepsilon$ に対して$n^{polylog(n)}$の時間複雑度を持つ。

乱択

PTASを持たない問題が、PTASと似通った特徴を持つ多項式時間乱択近似スキーム（PRAS）を持つことがある。PRASは最適化問題のインスタンスとパラメータ $\varepsilon >0$ を入力とし、多項式時間で『高い確率』で最適解の $1+\varepsilon$ 倍以下のソリューションを生成することのできるアルゴリズムである。『高い確率』とは慣習的に $3/4$ 以上のことであるが、ほとんどの確率的計算複雑度のクラスは、この具体的な値に対してロバストである。PTASと同様にPRASは問題のサイズ $n$ に対して多項式の計算時間を持たねばならないが、$\varepsilon$ に対してはそうではない。$\varepsilon$ に対するEPTASと同様の制約を持つものを効率的多項式時間乱択近似スキーム（EPRAS）と呼ぶ。また、FPTASと同様の制約を持つものを完全多項式時間乱択近似スキーム（FPRAS）と呼ぶ。

外部リンク

• Complexity Zoo: PTAS, EPTAS, FPTAS
• Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann, Magnús Halldórsson, Marek Karpinski, and Gerhard Woeginger, A compendium of NP optimization problems – list which NP optimization problems have PTAS.