和分差分学

数学の一部門としての差分法（さぶんほう、英: difference calculus, calculus of finite difference）あるいは和分差分学（わぶんさぶんがく、英: discrete calculus）は、（微分法および積分法を柱とする）微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が（極限の概念を定式化し得る）連続的な空間上の函数（特に実数直線上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 ℤ 上で定義された函数（すなわち数列）に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。

差分および和分

よく知られた連続的な微分法は

$Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

で定義される微分作用素 D に基づくのに対し、離散的な差分法は

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$

で定義される差分作用素 Δ に基づく。

逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 ∑f(x) が差分作用素に対して

$g(x)=\Delta f(x)\iff \sum g(x)\,\delta x=f(x)+C$

を満足するものとして定義される。ただし、δ は連続的な微分積分学における D に対する d と同様の意味で（ここでは）Δ に対する符牒である。また C は整数 x に対して定数となるような任意の函数 (C(x + 1) = C(x)) とする。

定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和 F(x) を用いれば

$\sum \nolimits _{a}^{b}f(x)\,\delta x=\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

なる関係にある。

性質

固有函数

${\begin{aligned}&\Delta f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)-f(x)=f(x)\\\iff &f(x+1)=2f(x)\\\iff &\exists C:f(x)=C\cdot 2^{x}\end{aligned}}$

微分作用素の作用の下で不変な函数が e を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では2 を底とする指数函数が不変である。これを確かめるのは容易い。

階乗冪函数

下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 m に対して

$x^{\underline {m}}={\frac {x!}{(x-m)!}}={\begin{cases}\overbrace {x(x-1)\dotsb (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}&{\text{for }}m\geq 0\\[5pt]\underbrace {\frac {1}{(x+1)(x+2)\dotsb (x-m)}} _{|m|{\text{ factors}}}&{\text{for }}m<0\end{cases}}$

と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを

• $\Delta (x^{\underline {m}})=mx^{\underline {m-1}}$
• $\sum \nolimits _{a}^{b}x^{\underline {m}}\,\delta x={\begin{cases}[{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}]_{a}^{b}&{\text{when }}m\neq -1\\[8pt][H_{x}]_{a}^{b}&{\text{when }}m=-1\end{cases}}$

のように表すことができる。ここに H_n は n-番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる。$\Delta (x\cdot H_{x}-x)=H_{x}$ なることも用いた。

積の差分法則と部分和分

連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が

$\Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)$

なる形で成り立つ。シフト作用素 E を Ef(x) := f(x + 1) で定めれば、短く

$\Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u$

と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式

$\sum u\,\Delta v=uv-\sum Ev\,\Delta u$

が得られる。

参考文献

• A. O. Gelfond: Differenzenrechnung. Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1958
• Ronald Graham u. a.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Upper Saddle River 2008, ISBN 0-201-55802-5
• N. E. Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer-Verlag, Berlin, 1924; Reprint Chelsea, New York, 1954

関連項目

• 有限差分

外部リンク

• 結城浩『ミルカさんの隣で』〈Web版「数学ガール」〉2005年。http://www.hyuki.com/story/diffsum.html。  (PDF)
• 結城浩『離散系バージョンの関数探し』〈Web版「数学ガール」〉2005年。http://www.hyuki.com/story/diffsum2.html。  (PDF)
• Brian Hamrick: Discrete Calculus (PDF, 70 KB)