合同ゼータ関数

数学において、 $q$ 個の元をもつ有限体 $F q$ 上で定義された非特異射影代数多様体 $V$ の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) $Z (V, s)$ （または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、 $N m$ を $F q$ の $m$ 次拡大体 $F q m$ 上の $V$ の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、

Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)

で定義される。変数変換 $u = q -1$ を行うと、これは $u$ の形式的冪級数として

{\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)

で定義される。

あるいは同じことだが、

(1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1

(2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}

が定義に採用されることもある。言い換えると、合同ゼータ関数 $Z (V, u)$ とは、有限体 $F$ 上で $V$ を定義する方程式の $F$ の $k$ 次拡大体 $F k$ における解の数の生成母関数が、 $Z (V, u)$ の対数微分となるような関数とも定義できる。

定式化

有限体 $F = F q$ が与えられたとき、自然数 $k = 1, 2, ...$ に対し、拡大次数が $[F k : F] = k$ である体 $F k = F q k$ が同型を除き一意に存在する。 $F$ 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 $V$ が与えられると、 $F k$ における解の数 $N k$ を数えることができ、その生成母関数

G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\dotsb

を作ることができる。

局所ゼータ関数 $Z (t)$ の定義は、 $log Z$ が $G$ に等しくなるようにする。つまり、

Z(t)=\exp(G(t))

とする。

$G (0) = 0$ だから $Z (0) = 1$ である。また、 $Z (t)$ はア・プリオリに形式的冪級数である。

$Z (t)$ の対数微分

Z'(t)/Z(t)

は、生成母関数 $G (t)$ の微分

G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\dotsb

に等しい。

例

まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を $X = 0$ とする。この定義方程式は、拡大次数 $k$ がどのような値であっても、方程式の解の数は、 $N k = 1$ となる。このことから全ての $k$ に対し、形式的べき級数の各係数が $1$ である場合と、 $V$ を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、

G(t)=-\log(1-t)

は、 $| t | < 1$ に対する対数の展開であり、

Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}

となる。

さらに興味深い例は、 $V$ を $F$ 上の射影直線(projective line)としたときである。 $F$ が $q$ 個の元を持つとすると、この多様体は $q + 1$ 個の点を持ち、この $+1$ 個は無限遠点と考えるべきである。このことから、

N_{k}=q^{k}+1

となり、 $| t |$ が充分小さいとき、

G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)

となることが分かる。

この場合には、

Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}

となる。

これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。^[1] 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)のDisquisitiones Arithmeticaeの論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。^[2]

定義やいくつかの例については、^[3]も参照。

動機

$G$ と $Z$ の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる（例えば、以下の $Z$ の無限積の公式を参照）。実際は、（一般の代数多様体に対しても、）この方法は、 $V$ が有限体上の楕円曲線 $V$ の場合のように、 $Z$ は $t$ の有理関数となっている。

関数 $Z$ は多重のとなっていて、大域的ゼータ関数(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、 $p$ が全ての素数を渡るときの体 $Z / p Z$ の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数 $t$ は $p - s$ が代入される。この $s$ はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。

このように理解すると、例で使われた 2つの場合の $Z$ の積は、 $\zeta (s)$ と $\zeta (s)\zeta (s-1)$ となる。

有限体上の曲線のリーマン予想

$F$ 上の非特異な射影曲線 $C$ に対し、 $g$ を曲線 $C$ の種数とし、 $P (t)$ を曲線を定義する次数 $2 g$ の多項式とすると、

Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}

となる。

P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}u)

と書くと、有限体上の曲線のリーマン予想は、

|\omega _{i}|=q^{1/2}

となるということを言う。

例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が $q 1/2$ であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは（楕円曲線の）点の数の直接的な結果であることを言っている。

アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (Comptes Rendus note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。

ゼータ関数の一般的公式

Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q}}_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.

この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。

ここに $X$ は、 $q$ 個の元を持つ有限体 $F$ 上の有限タイプの分離的スキームであり、 $Frob q$ は ${\overline {X}}$ のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。 ${\overline {X}}$ は $F$ の代数的閉体への $X$ のリフトである。このことは、ゼータ関数が $t$ の有理関数であることを示している。

$Z (X, t)$ の無限積公式は、

Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}

である。ここに、積は $X$ の閉点 $x$ 全てを渡り、 $deg(x)$ は $x$ の次数である。局所ゼータ関数 $Z (X, t)$ は $q - s$ の変数変換を通して、複素数変数 $s$ の関数と見ることができる。

上で議論した $X$ が多様体 $V$ の場合は、閉点は ${\overline {V}}$ 上の点 $P$ の同値類 $x = [P]$ のこととなり、2つの点の同値とは $F$ 上で共役なこととなる。 $x$ の次数は $P$ の座標により生成される $F$ の拡大次数である。無限積 $Z (X, t)$ の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots

である。

脚注

^ Daniel Bump, Algebraic Geometry (1998), p. 195.
^ Barry Mazur, Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields, p. 244 in Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).
^ Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"

参考文献

日本数学会編『岩波数学辞典』（第 3 版）岩波書店、1985年。ISBN 4000800167。
上野, 健爾『代数幾何入門』岩波書店、1995年。ISBN 4000056417。

[1] Daniel Bump, Algebraic Geometry (1998), p. 195.

[2] Barry Mazur, Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields, p. 244 in Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).

[3] Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"

[1]

[2]

[3]

合同ゼータ関数

目次

定式化

例

動機

有限体上の曲線のリーマン予想

ゼータ関数の一般的公式

関連項目

脚注

参考文献