双子のパラドックス

一般相対性理論
	アインシュタイン方程式
	入門; 数学的定式化; 関連書籍
基本概念
	特殊相対性理論; 等価原理; 世界線 · リーマン幾何学
現象
	ケプラー問題（英語版） · レンズ · 重力波; 慣性系の引きずり · 測地効果（英語版）; 事象の地平面 · 特異点 ; ブラックホール
方程式
	線形化重力（英語版）; PPN形式; アインシュタイン方程式; フリードマン方程式; ADM形式（英語版）; BSSN形式（英語版）
高度な理論
	カルツァ＝クライン理論; 量子重力理論
解（英語版）
	シュヴァルツシルト ; ライスナー・ノルドシュトロム · ゲーデル; カー · カー・ニューマン; カスナー（英語版） · Taub-NUT（英語版） · ミルン・モデル（英語版）; ロバートソン・ウォーカー · pp波（英語版）
科学者
	アインシュタイン · ミンコフスキー · エディントン; ルメートル · シュヴァルツシルト; ロバートソン · カー · フリードマン; チャンドラセカール · ホーキング;
	表; 話; 編; 歴;

物理学において、双子のパラドックスは特殊相対性理論における思考実験であり、一卵性双生児の片方が高速ロケットで宇宙を旅し、帰還すると地球に残った双子の方が年を取っている事に気づくと言うものである。この結果は不可解に思える。なぜなら、双子はそれぞれもう一方が動いているのを見ているため、時間の遅れと相対性原理の誤った^[1]^[2]そして素朴な^[3]^[4]適用の結果として、逆説的にも、それぞれがもう一方が年を取っていないと気づくはずである。しかし、このシナリオは特殊相対性理論の標準的な枠組みの中で解決出来る。つまり、旅する双子の軌道には、往路と復路の2つの異なる慣性系が関与している。^[5]別の見方としては、旅する双子は加速を受けていると認識し、それによって双子を非慣性観測者にすると言うものである。どちらの見方でも、双子の時空経路に対称性はない。したがって、双子のパラドックスは、論理的矛盾と言う意味でのパラドックスではない。双子のパラドックスの解決については、いまだ議論が続いている。^[6]

1911年のポール・ランジュバンに始まり、このパラドックスにはさまざまな説明がなされて来た。これらの説明は、「異なるフレームにおける同時性の異なる基準の影響に焦点を当てたものと、[旅する双子が経験する] 加速を主な理由とするものとに分けられる」^[7]。マックス・フォン・ラウエは1913年に、旅する双子は往路と復路で2つの別々の慣性フレームにいなければならないため、このフレームの切り替えが老化の違いの原因であると主張した。^[8]アルバート・アインシュタインとマックス・ボルンが提唱した説明では、重力による時間の遅れを引用して、老化を加速の直接的な影響として説明した。^[9]しかし、この効果を説明するのに一般相対性理論^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]も加速さえも必要ない事が証明されている。2人の宇宙飛行士が折り返し地点ですれ違い、その時点で時計を同期させた場合も、この効果は依然として当てはまるからである。折り返し地点での状況は、出発点から遠ざかる観測者と出発点に向かう観測者のペアがすれ違い、最初の観測者の時計の読みが2番目の観測者の時計の読みに転送され、両者とも一定の速度を維持し、旅の終わりに両方の移動時間が加算される状況と考える事が出来る。^[15]

歴史

アルバート・アインシュタインは1905年に発表した特殊相対性理論に関する有名な論文で、A点とB点に置かれた2つの静止した同期時計について、A点の時計を直線ABに沿って動かし、B点で停止させると、A点から移動した時計はB点の時計より遅れるだろうと推論した。彼は、この結果はA点からB点への経路が多角形または円形の場合にも当てはまると述べた。^{[A 1]}アインシュタインはこれを特殊相対性理論の自然な帰結であり、一部の人が示唆したようなパラドックスではないと考え、1911年にこの結果を次のように再述し、詳しく説明した（物理学者ロバート・レズニックのコメントはアインシュタインのコメントに続く）：^{[A 2]}^[16]

アインシュタイン︰「生きている生物を箱に入れれば、その生物は、どんなに長い飛行をした後でも、ほとんど変化のない状態で元の場所に戻る事が出来、元の場所に留まっていた対応する生物は、すでにずっと前に新しい世代に取って代わられている事になる。移動する生物にとっては、移動がほぼ光速で行われたとすれば、長い旅の時間はほんの一瞬である。」
レズニック︰「静止している生物が男性で、移動している生物がその双子の場合、旅行者が家に帰ると、双子の兄弟は自分よりもずっと年老いている。このパラドックスは、相対性理論では、どちらかの双子がもう一方を旅行者と見なす可能性があり、その場合、どちらももう一方を年下だと感じるはずであると言う主張を中心にしている。これは論理的矛盾である。この主張は、双子の状況が対称的で交換可能である事を前提としているが、これは正しくない。さらに、利用可能な実験が行われており、アインシュタインの予測を裏付けている。」

1911年、ポール・ランジュバンは、「γ = 100」ローレンツ因子 (光速の 99.995%) で旅をする旅行者の話を「印象的な例」として挙げた。旅行者は1年間、発射体の中に留まり、その後方向を反転する。帰還すると、旅行者は2歳年を取っているが、地球では200年が経過している。旅の間、旅行者と地球は一定の割合で信号を送り続ける。この事から、ランジュバンの話は双子のパラドックスのドップラーシフト版に分類される。信号速度に対する相対論的効果は、異なる老化速度を説明するために使用される。旅行者だけが加速を受けたために生じた非対称性は、違いがまったくない理由を説明するために使用される。^[17]^[18]「速度の変化、または加速には絶対的な意味がある」ためである。^{[A 3]}

マックス・フォン・ラウエ (1911年, 1913年) は、ランジュバンの説明を詳しく述べた。ヘルマン・ミンコフスキーの時空形式論を用いて、ラウエは慣性運動する物体の世界線が2つの事象間の固有経過時間を最大化する事を証明した。また、非対称老化は、宇宙飛行士の双子が2つの別々のフレームで移動するのに対し、地球の双子は1つのフレームにとどまると言う事実によって完全に説明され、加速時間は慣性運動時間と比較して任意に小さくする事が出来ると書いた。^{[A 4]}^{[A 5]}^{[A 6]}最終的に、ハルズベリー卿らは「3 兄弟」アプローチを導入して加速を排除した。移動する双子は、反対方向に移動する3番目の双子に時計の読みを移す。加速効果を回避する別の方法は、相対論的ドップラー効果の使用である (以下の § それがどのように見えるか︰相対論的ドップラーシフトを参照)。

アインシュタインもランジュバンも、このような結果を問題視しなかった。アインシュタインはそれを「奇妙」と呼んだだけだったが、ランジュバンはそれを絶対的な加速の結果として提示した。^{[A 7]} 両者は、双子の物語によって示された時間差からは自己矛盾は構築出来ないと主張した。言い換えれば、アインシュタインもランジュバンも、双子の物語が相対論的物理学の自己一貫性への挑戦を構成するとは考えていなかった。

誤解

以下の相対論に関わるパラドックスは、ときに「双子のパラドックス」として誤って紹介される事がある。これらは双子のパラドックスとは別物である。

ロケットに乗っている兄の方が歳を取りにくくなる（ウラシマ効果）。
兄の乗ったロケットが慣性運動（等速直線運動）をしているとき、相対性により、弟から見ると兄のほうが歳を取りにくく見え、兄のほうから見ると弟のほうが歳を取りにくく見える。

なお、双子のパラドックスは、光速に近い速度で動いた兄が、再び弟のところに戻ってきたときに起こる現象の事であるとされるが、これは光速に近い速度でなければ双子のパラドックスが起こらないものと誤解されやすい。先に述べたとおり、兄が弟から遠ざかっていさえすれば、兄の方が弟よりも若くなる。ただし、兄のロケットが光速度よりはるかに低速な場合は、時間の遅れは微々たるものになってしまう。ロケットの速度が光速に近いとしているのは、時間の遅れを増やす事でストーリーとしての面白みを加える為に過ぎない。

また、加速度を扱うのだから特殊相対性理論では扱えないとするのは誤りである^[要出典]。観測対象（この場合では弟から見た兄）が加速度を持っている状況においても、時間を微小区間で考えて一定の速度として扱えば特殊相対性理論でも扱うことができる。このパラドックスの本質的な問題点は、兄が観測者の時、途中で兄が加速度を持ってしまっているところにある。

特殊相対性理論ではx_ctグラフ（時空図）で幾何学的に考えれば、双曲線は同じ年を取るのに必要なグラフ上の位置に相当する。ロケットが折り返した後については、合流地点を原点とみなした上下反転の双曲線を考えれば、ロケットの方が少ないマス目しか通過しないことから、ロケット（兄）の方が若くなることは示せる。

具体例

地球に滞在する人の座標系、宇宙船に乗っている人についての座標系をそれぞれK系とK'系と呼ぶことにする。いま旅行の手順の時間については地球にいる人からみた計画で行われるとする。ここでは地球の影響による時間の流れの変化は無視するとする。

2000年1月1日から2006年1月1日までの旅行を考える。2192日間を365.3日の6つの段階に分ける。

段階1 - 宇宙船が静止した状態から一定の固有加速度を受け、K系から見た時間で1年間で光速の90%の速度に加速される。
段階2 - 宇宙船は光速の90%の速度で、K系から見た時間で1年間等速直線運動をする。
段階3 - 宇宙船は一定の固有加速度を受け、光速の90%の速度からK系から見た時間で1年間かけて減速し目的の場所に到着静止する。
段階4 - 宇宙船は静止した状態から一定の固有加速度を受け、K系から見た時間で1年間で地球向きに光速の90%の速度に加速される。
段階5 - 宇宙船は光速の90%の速度で、K系から見た時間で1年間等速直線運動をする。
段階6 - 宇宙船は一定の固有加速度を受け、K系で見た時間で1年間かけて減速し地球に到着静止する。

このそれぞれの段階について宇宙船に乗っている人から見た時間、固有時間を求める。

宇宙船の固有時間と静止した状態との時間との関係は次の式で与えられる^[19]。

$\Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\$

加速と減速の物理現象の対称性から段階1、3、4、6は同じ時間を宇宙船からみて感じる固有時間は等しいので段階1についてのみ考える。

段階1について

固有時間を求める式は次のように表される。

段階1 $:\quad c/a\ {\text{arcsinh}}(aA/c)\,$

ここでAはK系からみた時間で今考えている例では一年である。aは固有加速度である。ここでaとAと最終的な速度には次の関係がある

$aA=v/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

これからaは $19.624m/s^{2}$ となり

よってこの段階の宇宙船の固有時間は $2.25\times 10^{7}$ 秒となる。

方向が異なる等速直線運動なので段階2,段階5は同じ時間を宇宙船からみて感じる固有時間は等しい、よって段階2についてのみ考える。

段階2について

段階2 $:\quad T\ {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

ここでTはK系から見た時間を表していて、例の場合には1年である。

よって宇宙船が感じる固有時間は $1.38\times 10^{7}$ 秒となる。

以上の結果からすべての時間を足し合わせると宇宙船が旅行から戻ってきたときには宇宙船の時計はだいたい2003年9月22日の時刻を表していると求められる。

追記

［１］上記の「具体例」では、一定の加速運動をする場合（段階１・３・４・６）に対して、特殊相対性理論を使用している。これは兄が平らな時空内にいるということで、弟から見て加速運動をしているにも関わらず、無重力状態になっている。つまり、弟から見て兄は重力場内を「自由落下」している。したがって、段階１・３・４・６において兄は重力場を通過しているのであって、ずっと無重力である弟とは異なる。

この「具体例」の考察・計算は正しいが、兄が無重力空間内を旅して帰還する、という話では無い。一方、この追記では、兄が無重力空間内を旅して帰還する、という場合について述べる。

［２］以下、「双子のパラドックス」と「時空をどのような図形で表現するか」との関係を大雑把に記述する。

以下では、重力場の方程式の形は一般相対性理論と同じとするが、その方程式に使われる４変数(t,x,y,z)の数学的性質として３つのケースを考える。

ここでの主な仮定は次の２つである。

仮定１：　曲率が加速度を表す、と考える。

仮定２：　時間の進む速さは加速度のみに依存する、と考える。

仮定１についての補足：

これは、ニュートン力学において、空間座標の２階微分を加速度と考える、事に対応している。

仮定２についての補足：

これは、一般相対性理論での時間と加速度の関係である。

一般相対性理論では、無重力での時間の進み方が最も速く、重力が強いほど時間の進み方が遅くなる。

ここで、一般相対性理論は相対主義（絶対的に正しい観測者というものは存在せず、すべての観測者は正しい）に基づくため、上記の「重力が強い」とは引力が大きい事だけでは無く、加速度の働き方の不均一さが大きい事（潮汐力が大きい事）も指す。実際、重力場の方程式 Rij - R*(gij/2) = k*Tij の左辺は、４点に働く各４方向の加速度Rijから加速度の中央値R*(gij/2)を差し引いており、引力の加速度ではなく潮汐力の加速度を表している。

重力場の方程式についての補足：

絶対主義では、引力が見えるような絶対的に正しい観測者のみで物理法則を考え、引力が消えて見えるような間違った観測者（自由落下する観測者）を無視する。相対主義では、すべての観測者に共通する事柄（加速度の不均一さ）を物理法則（重力場の方程式）と考える。

重力場の方程式の左辺はリーマン空間のラプラス演算であり、コンピューター・グラフィックスのラプラシアン・フィルター（境界線を強調する画像処理）が、上下左右の４点の色から中央の点の色を差し引いて処理後の中央の点の色とする、のと同様の演算である。ラプラシアン・フィルターのプログラムは普通、中央の点の色から４点の色の合計の１／４を差し引き、均一な色分布では結果の色がゼロになるようにする。一般相対性理論で差し引くgijを２で割るのは、どのような重力場でも自由落下する観測者が必ず存在する、と仮定しているからで、自由落下の場合のgijの対角和が、ミンコフスキー空間では(-1)+(1)+(1)+(1)=2になるので、gijを２で割る。gijに掛ける１／２を変分原理で導出するため、ラグランジュアンは１／２乗＝ルートを用いた形√(-R)になる（ルートを微分すると１／２が係数として出てくる）。なお、ユークリッド空間の張り合わせであるn次元リーマン空間で対角和がゼロになるのはＲij - R*(gij/n)であり、ミンコフスキー空間とは異なる。また、重力場の方程式の左辺がラプラシアンのべき乗、例えば３乗などになっていないのは、潮汐力と質量についての観測結果が３乗ではなく単純な比例関係になるからである。

［３］地球にいる弟から見た、ロケットの兄の座標軸の様子

弟（自分）の座標軸は単純な直交座標で、その座標空間内で兄の座標軸がどうなるか、について。

［３－１］兄が加速されていない瞬間

兄の座標軸は直線で、弟の座標軸に対して傾いている。ここで、「兄が加速されていない」とは

場合１：　重力場の外にいて、かつ、等速直線運動(加速運動に見えない)をしている。

場合２：　重力場の中にいて、かつ、自由落下(加速運動に見える)をしている。

［３－２］兄が加速されている瞬間

兄の座標軸は曲線になる。

旅の途中で、兄の座標軸は、座標原点が移動するだけではなく、形が変わる。

［４］旅の途中での双子の年齢

年齢が異なる。兄と弟とで固有時の進む速さが異なる。また、何を同時刻と見るか、が異なる。

どちらが年上か、は兄と弟とで、意見が一致する。

何歳年上かは、兄と弟で異なる。例えば、兄から見て兄が１歳年上で、弟から見て兄が２歳年上、のようになる。

［５］３つのケース

［５－１］ケース１：　時空をセミ・リーマン空間とする

一般相対性理論である。

セミ・リーマン空間とは、小さいミンコフスキー空間を張り合わせたパッチワークである。

セミが付かないただのリーマン空間は、小さいユークリッド空間のパッチワークであり、ミンコフスキー空間とユークリッド空間とは

・微分に関わる性質：　正定値計量ではなく、不定計量である。（距離の２乗が負になり得る）

・トポロジーに関わる性質：　距離位相を採用したとき、分離公理が成り立たない。（異なる２点からのびる光円錐が交わる）

が異なる。この相違は時間を実数ではなく虚数に変更すれば解消する（ミンコフスキー空間をやめる、ということ）が、そのような変更については、ここでは考えない。

計量ｇ（距離の２乗を座標値の２乗で割った比率）は、場所に依存するが向きには依存しない。ｇ＝ｇ（ｘ）。

平行移動の定義はレヴィ-チヴィタ接続であり、曲率は対称になる（＝捩率がゼロ）。

なお、曲線・曲面の幾何学では、曲がりと捩じれは図形を外から見て定める（日常の言葉での曲がり・捩じれに良く対応している）が、多様体の幾何学（別名、アリンコの幾何学）では、空間の曲がりと捩じれは、空間から外に出ず空間内に留まって定める。アイデアとしては、１点から出る閉曲線を描き、矢印を線に沿って平行移動させ、一周して戻ったとき、元の矢印と一致していれば曲がっていない、とする。一周させた矢印を今と逆方向に一周させ、最初の矢印と一致していれば捩じれ無し、とする。したがって、平行移動の定義が異なれば、曲率・捩率の定義・性質は異なったものになる。

［５－２］ケース２：　時空をセミ・カルタン空間とする

計量は、場所に依存するが向きには依存しない。ｇ＝ｇ（ｘ）。

平行移動・曲率・捩率の考え方はリーマン空間と異なり、曲率は非対称、捩率はゼロでない。

曲率が非対称なので、軌道の曲率は曲率を考える向きに依存し、軌道の形だけでは定まらない。

［５－３］ケース３：　時空をセミ・フィンズラー空間とする

計量は、場所と向きに依存する。ｇ＝ｇ（ｘ，ｄｘ）。曲線の長さは、曲線の形だけでは定まらず、長さを測る向きに依存する。

平行移動の定義はベアバルド接続などであり、曲率は非対称、捩率はゼロでない。

［６］再会した時の兄と弟

兄と弟は、ずっと無重力空間内にいるものとする。

兄が加速運動（弟から見て）をして、弟のもとを離れて帰還し再会する。

ケース１：　年齢は同じ。兄から見た弟（と地球）の移動距離は、弟から見た兄の移動距離と同じ。

ケース２：　年齢は異なる。兄から見た弟（と地球）の移動距離は、弟から見た兄の移動距離と同じ。

ケース３：　年齢は異なる。兄から見た弟（と地球）の移動距離は、弟から見た兄の移動距離と異なる。

なお、時空に捩じれがあると双子の再会時の年齢が異なり得る、との指摘は

林憲二：　一般相対論－現況と展望、『科学』<特集>相対論と宇宙物理、１９７６年１０月号、岩波書店.

に見られる。

一次参考文献

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^ von Laue, Max (1913). Das Relativitätsprinzip (The Principle of Relativity) (2 ed.). Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg. OCLC 298055497
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^ 「我々は加速のこの絶対的な特徴が別の形で現れるのを見る事になるだろう。」 (「Nous allons voir se manifester sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération.」), Langevin1911の82ページ

二次参考文献

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双子のパラドックス

目次

歴史

誤解

具体例

段階1について

段階2について

一次参考文献

二次参考文献

関連項目