十三角形

十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

正十三角形

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

S={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}

となる。

$\cos(2\pi /13)$ を平方根と立方根で表すと^[1]、

\cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...

\cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}

以下のようにα、βを置く

{\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}\\\beta =&2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}\\\end{aligned}}

和と差の平方を求めると

{\begin{aligned}\alpha +\beta =-1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}

α-βを求めると（α > βより）

\alpha -\beta ={\sqrt {13}}

よって

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\frac {-1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=&{\frac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}

一方

{\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (-2)+3\omega ^{2}\cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (-2)+3\omega \cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}

両辺の立方根を求めると

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}

正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。

正十三角形は折紙により作図可能である^[2]。

チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。

20コルナ硬貨

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