円分指標

円分指標 (えんぶんしひょう　Cyclotomic_character）

In number theory, a cyclotomic character is a character of a Galois group giving the Galois action on a group of roots of unity. As a one-dimensional representation over a ring R, its representation space is generally denoted by R(1) (that is, it is a representation χ : G → Aut_R(R(1)) ≈ GL(1, R)).

p-進 円分指標

p を素数、 G_Q を有理数体の絶対ガロア群とする。

ζ_n を1の原始pⁿ乗根とする。 g∈ G_Q は ζ_n を別の1の原始pⁿ乗根に送る。

$g(\zeta )=\zeta _{n}^{a_{g,n}}$

ただしa_g,n ∈ (Z/pⁿ)^×. これにより定まる群準同型

${\bar {\chi _{p^{n}}}}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} ^{\times }$

を法pⁿ 円分指標という。

ここでgを固定した状況下で、 n を動かすと系列 a_g,n は 系列 (Z/pⁿ)^×の逆極限、すなわちZ_p^×の元をなす。

このようにして定まる群準同型

$\chi _{p}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} _{p}^{\times }$

をp-進 円分指標という。

ここで$\chi _{p}$は連続写像でもある。

Therefore, the p-adic cyclotomic character sends g to the system (a_g,n)_n, thus encoding the action of g on all p-power roots of unity.

関連項目

　

• テイト捻り