位相的エントロピー(いそうてきエントロピー、英: topological entropy)とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。[1]
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。
をコンパクト離散力学系とせよ。
すなわち、 はコンパクト位相空間であり、 は連続写像である。
まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。
と を の開被覆とせよ。
このとき、 と の共通細分 を
-
により定義する。
また、
-
も の開被覆である。
さて、位相的エントロピーを定義しよう。
を の開被覆とせよ。
の有限部分被覆の濃度の最小値を、 とする。
このとき、開被覆 のエントロピーを
-
により定義する。
また、極限
-
は常に存在する。
この極限値を開被覆 に関する連続写像 のエントロピーと呼び、 と表す。
このとき、コンパクト離散力学系 の位相的エントロピー を
-
により定義する。
ただし、上限は開被覆の全体で考える。
- ^ R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319