一般化双曲型分布(いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、: generalized hyperbolic distribution, GH)は、一般化逆ガウス分布英語版(GIG分布)による正規分散平均混合英語版として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsen英語版により導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布

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確率密度関数

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一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

 

ここで、

 
Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数
  位置 (location) パラメータ(実数
  (実数)
  (実数)
  歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ(実数)
  尺度 (scale) パラメータ(実数)
 
λ > 0 のとき、 
λ = 0 のとき、 
λ < 0 のとき、 

モーメント

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本節では、以下

 

とする。

期待値

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期待値は以下の式で与えられる。

 

分散

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分散は以下の式で与えられる。

 

モーメント母関数

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モーメント母関数は以下の式で与えられる。

 

特性関数

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特性関数は以下の式で与えられる。

 

特別なケース

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λ = 1 の場合

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双曲型分布英語版 (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
 

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

λ = −1/2 の場合

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正規逆ガウス分布英語版 (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
 

λ = −1/2, α = β =0 の場合

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正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

λ = −ν/2, α → |β| の場合

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自由度 ν非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)

 

λ = −ν/2, α = β = 0, δ = ν の場合

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自由度 ν の(対称な)スチューデントのt分布となる。

 

α → ∞, δ → ∞, δ/ασ2 の場合

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平均 μ + βσ2、分散 σ2正規分布となる。

参考文献

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(英語)

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

(日本語)

脚注

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a b   

外部リンク

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