一般ディリクレ級数 （いっぱんでぃりくれきゅうすう、英 : general Dirichlet series ）とは、
複素数 列
{
a
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}
{
λ
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\lambda _{n}\}_{n\geq 0}}
s に対して、
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
で表される級数 のことをいう。指数型のディリクレ級数 または広義のディリクレ級数 ともいう。
特に、
λ
n
=
log
n
{\displaystyle \lambda _{n}=\log n}
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
であり、(通常)ディリクレ級数 となる。
また、
λ
n
=
n
{\displaystyle \lambda _{n}=n}
z
=
e
−
s
{\displaystyle z=e^{-s}}
∑
n
=
1
∞
a
n
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}
と、ベキ級数 になる。
s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束 する。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散 する。
一般ディリクレ級数が
Re
s
>
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}}
s に対して収束し、
Re
s
<
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}}
s に対して発散する様な実数
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは
−
∞
{\displaystyle \scriptstyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle \scriptstyle +\infty }
一般ディリクレ級数
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
の収束軸
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
s
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
σ
c
=
lim sup
n
→
∞
log
|
s
(
n
)
|
λ
n
{\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s(n)|}{\lambda _{n}}}}
s
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
σ
c
=
lim sup
n
→
∞
log
|
a
n
+
a
n
+
1
+
⋯
|
λ
n
{\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\lambda _{n}}}}
また、
σ
c
=
lim sup
x
→
∞
1
x
log
|
∑
[
x
]
≤
λ
n
<
x
a
n
|
{\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|}
という式も知られている。
一般の級数のときと同じく、
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}}
が収束するとき、一般ディリクレ級数
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
は絶対収束 するという。
絶対収束する複素数 s に対する、
Re
s
{\displaystyle \operatorname {Re} \ s}
絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは
−
∞
{\displaystyle \scriptstyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle \scriptstyle +\infty }
ディリクレ級数の絶対収束性 を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
例えば
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
e
−
s
log
log
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}e^{-s\log \log n}}
は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。
一般に、収束軸が有限の値
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
lim sup
n
→
∞
log
n
λ
n
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}}
が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸
σ
a
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}
0
≤
σ
a
−
σ
a
≤
α
{\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{a}\leq \alpha }
[ 1]
一般ディリクレ級数
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
の絶対収束軸
σ
a
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}
s
n
=
∑
k
=
1
n
|
a
k
|
{\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|}
σ
a
=
lim sup
n
→
∞
log
s
(
n
)
log
n
{\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s(n)}{\log n}}}
s
n
=
∑
k
=
1
n
|
a
k
|
{\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|}
σ
a
=
lim sup
n
→
∞
log
(
|
a
n
|
+
|
a
n
+
1
|
+
⋯
)
log
n
{\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}}
また、
σ
a
=
lim sup
x
→
∞
1
x
log
(
∑
[
x
]
≤
λ
n
<
x
|
a
n
|
)
{\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)}
が成り立つ。
一般ディリクレ級数を
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
として、s を変数とする関数 とみなすと、
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
一様収束 性が問題となる。
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
σ
a
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}}
σ
c
≤
σ
u
≤
σ
a
{\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}
[ 2]
を満たす実数
σ
u
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}
Re
s
>
σ
u
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}}
s に対して、
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
Re
s
<
σ
u
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}}
s に対して、
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
この
σ
u
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}
一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは
−
∞
{\displaystyle \scriptstyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle \scriptstyle +\infty }
ディリクレ級数
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
の一様収束軸
σ
u
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}}
σ
u
=
lim sup
x
→
∞
log
T
x
log
x
{\displaystyle \sigma _{u}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {\log T_{x}}{\log x}}}
ここで、
T
x
=
sup
−
∞
<
y
<
∞
|
∑
[
x
]
≤
λ
n
<
x
a
n
e
−
i
λ
n
y
|
{\displaystyle T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|}
一般ディリクレ級数
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
は、
Re
s
>
σ
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }
Re
s
>
σ
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }
正則 である。さらに、
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
微分 は
f
(
k
)
(
s
)
=
(
−
1
)
k
∑
n
=
1
∞
λ
n
k
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{k}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
で与えられる。
Re
s
>
σ
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma }
σ
r
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{r}}
σ
r
=
sup
−
∞
<
y
<
+
∞
lim sup
x
→
−
∞
(
log
log
+
|
φ
(
x
+
i
y
)
|
+
x
)
{\displaystyle \sigma _{r}=\sup _{-\infty <y<+\infty }\limsup _{x\to -\infty }(\log \log ^{+}|\varphi (x+iy)|+x)}
但し、
φ
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
a
n
e
−
λ
n
z
/
Γ
(
1
+
λ
n
)
)
,
log
+
z
=
max
(
log
z
,
0
)
{\displaystyle \varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}e^{-\lambda _{n}z}/\Gamma (1+\lambda _{n})),\ \ \ \log ^{+}z=\max(\log z,\ 0)}
2つのディリクレ級数
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
,
g
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
が、ある開領域内で収束し、そこで、
f
(
s
)
=
g
(
s
)
{\displaystyle f(s)=g(s)}
n に対して、
a
n
=
b
n
{\displaystyle a_{n}=b_{n}}
収束軸
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
−
∞
{\displaystyle \scriptstyle -\infty }
f
(
s
)
=
∑
n
≤
x
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
に対して、ω を
λ
n
<
ω
<
λ
n
+
1
{\displaystyle \scriptstyle \lambda _{n}<\omega <\lambda _{n+1}}
c
>
max
(
σ
c
,
0
)
{\displaystyle \scriptstyle c>\max(\sigma _{c},\ 0)}
∑
k
=
1
n
a
k
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
∞
a
n
e
ω
z
z
d
z
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz}
が成立する。但し、積分路は、すべての
λ
k
{\displaystyle \lambda _{k}}
x
>
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle x>\sigma _{c}}
a
n
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
x
x
+
T
f
(
x
+
i
y
)
e
λ
n
(
x
+
i
y
)
d
y
{\displaystyle a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy}
ε、 δ、T を任意の正数とする。
収束軸
σ
c
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}}
f
(
s
)
=
∑
n
≤
x
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
に対して、
σ
≥
σ
c
+
ε
,
T
<
t
<
T
+
2
δ
log
T
{\displaystyle \scriptstyle \sigma \geq \sigma _{c}+\varepsilon ,\ T<t<T+2\delta \log T}
s
=
σ
+
i
t
{\displaystyle s=\sigma +it}
f
(
s
)
=
0
{\displaystyle f(s)=0}
N
(
T
)
{\displaystyle N(T)}
N
(
T
)
{\displaystyle N(T)}
lim sup
T
→
∞
N
(
T
)
log
2
T
≤
δ
ε
{\displaystyle \limsup _{T\to \infty }{\frac {N(T)}{\log ^{2}T}}\leq {\frac {\delta }{\varepsilon }}}
が成立する。
^ α が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。
^
σ
c
,
σ
a
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c},\ \sigma _{a}}
![{\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8481f4dfe90417432b133ff767d2ddc6bc4b58cf)
![{\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3a4925eeb434ac3cd8c5d824b397912d88eeb6)
![{\displaystyle T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602603368bafffd884a8ef33a6d683ec398ec0d5)
