基準形状(変形なし形状) における座標 と写像 によって、変形形状における座標 を表す。
-
上記の変換に伴って、積分領域を変形形状 から基準形状(変形なし形状) に、積分変数を から に変換する。
-
ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積dV と、変形形状κt における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。
-
新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。
-
この式は
-
であることを利用すると、次のように整理される:
-
今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κt に、積分変数をdV からdv に変換する。
-
結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。
-