リッカチの微分方程式 （リッカチのびぶんほうていしき、英 : Riccati's differential equation ）は、
非線形 1階常微分方程式 の1つである。ヤコポ・リッカチ が考察した微分方程式である。
リッカチ微分方程式ということもある。リッカチの微分方程式は解が動く真性特異点 を持たない1階の常微分方程式として
理論上重要である[ 1]
リッカチの微分方程式は、狭義の意味では、次のような形の非線形1階常微分方程式である[ 2]
y
′
+
y
2
=
b
x
α
,
y
′
:=
d
y
(
x
)
d
x
.
α
,
b
=
const
.
{\displaystyle y'+y^{2}=bx^{\alpha },\quad y':={\frac {dy(x)}{dx}}.\quad \alpha ,b={\text{const}}.}
リッカチが議論したのは、この形の微分方程式である[ 2]
y
′
+
X
(
x
)
y
2
+
X
1
(
x
)
y
+
X
2
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle y'+X(x)y^{2}+X_{1}(x)y+X_{2}(x)=0,}
の形をした微分方程式もリッカチの微分方程式と呼んでいる[ 3] [ 1]
X
(
x
)
,
X
1
(
x
)
,
X
2
(
x
)
{\displaystyle X(x),X_{1}(x),X_{2}(x)}
x
{\displaystyle x}
リッカチの微分方程式の一般解を初等関数 によって代数的に求積法 で解く事は一般にできないことが、リウヴィル によって証明されている[ 3] [ 4] 特解 を求めることができた場合は、一般解 を以下のようにして
構成できる[ 3]
y
1
{\displaystyle y_{1}}
y
=:
y
1
+
z
{\displaystyle y=:y_{1}+z}
従属変数
z
(
x
)
{\displaystyle z(x)}
z
(
x
)
{\displaystyle z(x)}
z
′
+
(
X
1
+
2
X
y
1
)
z
+
X
z
2
=
0.
{\displaystyle z'+(X_{1}+2Xy_{1})z+Xz^{2}=0.}
これはベルヌーイの微分方程式 であるので、常法に従って
u
:=
1
/
z
{\displaystyle u:=1/z}
u
{\displaystyle u}
線形微分方程式
u
′
−
(
X
1
+
2
X
y
1
)
u
−
X
=
0
,
{\displaystyle u'-(X_{1}+2Xy_{1})u-X=0,}
へ変換できる。この微分方程式はすぐに解けて、
u
=
C
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
f
(
x
)
:=
exp
(
∫
d
x
(
X
1
+
2
X
y
1
)
)
,
g
(
x
)
:=
f
(
x
)
∫
d
x
X
1
f
(
x
)
,
{\displaystyle u=Cf(x)+g(x),\qquad f(x):=\exp \left(\int dx\left(X_{1}+2Xy_{1}\right)\right),\qquad g(x):=f(x)\int dxX{\frac {1}{f(x)}},}
を得る。ただし、
C
{\displaystyle C}
y
=
y
1
+
1
u
=
y
1
+
1
C
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
{\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{u}}=y_{1}+{\frac {1}{Cf(x)+g(x)}},}
として得られる。なお、リウヴィルによる証明はたとえば文献[ 5]
編集
狭義のリッカチの微分方程式が初等関数によって代数的に求積法で解けるのは、以下の場合に限られることがリウヴィルによって証明されている[ 6] [ 4]
b
=
0
{\displaystyle b=0}
α
=
−
2
{\displaystyle \alpha =-2}
α
=
−
4
n
/
(
2
n
−
1
)
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \alpha =-4n/(2n-1),\,n=1,2,\dots }
α
=
−
4
n
/
(
2
n
+
1
)
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \alpha =-4n/(2n+1),\,n=1,2,\dots }
編集
変形KdV方程式 [ 7]
v
t
−
6
v
2
v
x
+
v
x
x
x
=
0
,
v
t
:=
∂
v
(
x
,
t
)
∂
t
,
v
x
:=
∂
v
(
x
,
t
)
∂
x
,
v
x
x
x
:=
∂
3
v
(
x
,
t
)
∂
x
3
,
{\displaystyle v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0,\quad v_{t}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial t}},\quad v_{x}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial x}},\quad v_{xxx}:={\frac {\partial ^{3}v(x,t)}{\partial x^{3}}},}
は、Miura変換[ 8] [ 9]
u
=
v
x
+
v
2
,
{\displaystyle u=v_{x}+v^{2},}
によって、KdV方程式 と
u
t
−
6
u
u
x
+
u
x
x
x
=
(
2
v
+
∂
x
)
(
v
t
−
6
v
2
v
x
+
v
x
x
x
)
,
{\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=\left(2v+\partial _{x}\right)\left(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}\right),}
の関係で結ばれる[ 8]
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
v
=
ψ
x
/
ψ
{\displaystyle v=\psi _{x}/\psi }
[ 8]
ψ
x
x
−
u
ψ
=
0
,
{\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =0,}
さらに、KdV方程式がガリレイ変換
x
′
=
x
−
6
λ
t
,
t
′
=
t
,
u
′
(
x
′
,
t
′
)
=
u
(
x
,
t
)
−
λ
,
{\displaystyle x'=x-6\lambda t,\quad t'=t,\quad u'(x',t')=u(x,t)-\lambda ,}
の下で不変であることを用いると[ 8] シュレディンガー方程式
−
ψ
x
x
+
u
ψ
=
λ
u
,
{\displaystyle -\psi _{xx}+u\psi =\lambda u,}
を得る。この式を出発点として、逆散乱法 (固有値
λ
{\displaystyle \lambda }
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (x,t)}
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
^ a b c d 数学セミナー 増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社 、1989年、ISBN 4-535-70409-0 、p. 62.
^ a b 吉田耕作著「微分方程式の解法 第2版」岩波全書、1978年、ISBN 4-00-021554-X 、p. 21.
^ a b c 吉田「微分方程式の解法 第2版」p. 20.
^ a b J. Liouville, Journal de Mathematiques Pure et Appliquees Tome 6 (1841).
^ G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions (reprint), Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-48391-3 , section 4.7, 4.71, 4.72, 4.73, 4.74, 4.75
^ 吉田「微分方程式の解法 第2版、pp. 21-22.
^ 和達三樹著「現代物理学叢書 非線形波動」岩波書店、2000年、ISBN 4-00-006741-9 、pp. 15, 58.
^ a b c d 和達三樹「非線形波動」p. 59.
^ R. Miura は日系3世である。
戸田盛和著「物理学30講シリーズ3 波動と非線形問題30講」朝倉書店、1995年、ISBN 4-254-13633-1 , p. 50.
