ラマヌジャン・スコーレムの定理

ラマヌジャン・スコーレムの定理（ラマヌジャン・スコーレムのていり、英: Ramanujan-Skolem's theorem）またはラマヌジャン・ナーゲルの定理（ラマヌジャン・ナーゲルのていり、英: Ramanujan-Nagell's theorem）はディオファントス方程式の一つの解に関する定理で、次の不定方程式

2ⁿ − 7 = x²

の自然数解が存在するのは n = 3, 4, 5, 7, 15 のときだけであるというもの。(n, x) = (3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, 11), (15, 181) である。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予想し、ナーゲル (Trygve Nagell) が1948年に（元の証明はノルウェー語で発表されたが、1961年に英語版の論文が発表された）、トアルフ・スコーレムが1959年に証明した。

一般化

一般に与えられた正の整数 D に対して

x^{2}+D=2^{n}

は有限個の解しかもたない。ロジェ・アペリーは 7 以外の正の整数 D に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したが^[1]、Beukersは2つの正の整数解をもつのは

D=7,23\;((x,n)=(3,5),(45,11)),\quad 2^{k}-1\;(k\geq 4,\,(x,n)=(1,k),(2^{k-1}-1,2k-2))

の場合に限ることを示し、さらに n < 435 + 10 log |D| / log 2 （これは D が負の場合にも成り立つ）となることを示した^[2]。

Lebesgue–Nagell 方程式

一般に、任意の整数 A, D に対して、不定方程式

x^{2}+D=Ay^{n}

の整数解 x, y, n の個数は有限個で、原理的に計算可能である^[3]。M. Lebesgue （アンリ・ルベーグとは別人）は1850年に

x^{2}+1=y^{n}

の整数解は x = 0, y = 1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue–Nagell 方程式とよぶ。フェルマーの最終定理の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を A = 1, 1 ≤ D ≤ 100 に対して解いた^[4]。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式

x^{2}+7=y^{n},n>1

の自然数解は x = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。

脚注

^ Apery (1960)
^ Beukers (1981)
^ Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など
^ Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)

参考文献

Roger Apéry (1960). “Sur une équation diophantienne”. C. R. Acad. Sci. Paris 251: 1263–1264.
F. Beukers (1981). “On the generalized Ramanujan-Nagel equation I”. Acta Arith. 38: 389–410.
M. Lebesgue (1850). “Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x^m = y² + 1”. Nouv. Ann. Math. Sér. 1 9: 178–181.
T. Nagell (1948). “Løsning till oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. 30: 62–64.
T. Nagell (1961). “The Diophantine equation x² + 7 = 2ⁿ”. Ark. Mat. 4: 185–187. doi:10.1007/BF02592006.
T. N. Shorey; A. J. van der Poorten; R. Tijdeman; A. Schinzel (1976). "Applications of the Gelʹfond-Baker method to Diophantine equations". Transcendence theory: advances and applications (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976). Academic Press. pp. 59–77.
T. N. Shorey; R. Tijdeman (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511566042. ISBN 9780511566042
Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation”. Compos. Math. 142: 31–62. doi:10.1112/S0010437X05001739.

[1] Apery (1960)

[2] Beukers (1981)

[3] Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など

[4] Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)

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