数学において、Kurt Mahler (1958) によって導入されたマーラーの定理(マーラーのていり、: Mahler's theorem)とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。

次の結果は任意のにおいて成立する。今、前進差分作用素

と定める。このとき、多項式関数 f に対して、次のニュートン級数が得られる:

ただし

k 番目の二項係数多項式である。

実数体上では、関数 f が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる連続性の仮定のみでは上の等式は成り立たない。

マーラーの定理では、fp-進整数上の連続な p-進値関数であるなら、その等式が成り立つと述べられている。

上述の作用素 Δ と多項式列との関係は、微分と xkk 番目の項とする数列との関係と似ている。

驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、複素数体上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特にカールソンの定理英語版の成立が必要となる。

f標数 0 の任意の内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。

参考文献

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  • Mahler, K. (1958), “An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 199: 23–34, ISSN 0075-4102, MR0095821, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002177846