t -区間 [a , b ] 上の二階線型微分方程式系
(
p
i
(
t
)
x
i
′
)
′
+
q
i
(
t
)
x
i
=
0
,
x
i
(
a
)
=
1
,
x
i
′
(
a
)
=
R
i
{\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,}
n
{\displaystyle n}
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
x
i
=
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}
Δ
2
(
x
i
)
=
Δ
(
Δ
x
i
)
=
x
i
+
2
−
2
x
i
+
1
+
x
i
{\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}}
以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a , b ] 上では
x
i
(
t
)
≠
0
{\displaystyle x_{i}(t)\neq 0}
[ 2]
x
n
−
1
2
Δ
n
−
1
(
p
1
r
1
)
]
a
b
=
∫
a
b
(
x
n
−
1
′
)
2
Δ
n
−
1
(
p
1
)
−
∫
a
b
x
n
−
1
2
Δ
n
−
1
(
q
1
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
C
(
n
−
1
,
k
)
(
−
1
)
n
−
k
−
1
∫
a
b
p
k
+
1
W
2
(
x
k
+
1
,
x
n
−
1
)
/
x
k
+
1
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}
ここで
r
i
=
x
i
′
/
x
i
{\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}}
対数微分 であり、
W
(
x
i
,
x
j
)
=
x
i
′
x
j
−
x
i
x
j
′
{\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }}
ロンスキアン 、
C
(
n
−
1
,
k
)
{\displaystyle C(n-1,k)}
二項係数 を表す。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
ピコーンの等式 となる。
上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く[ 3] スツルム＝ピコーンの比較定理 の拡張である。
p
i
,
q
i
,
{\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,}
i = 1, 2, 3 を、区間 [a , b ] 上の実数値連続関数とし、
(
p
1
(
t
)
x
1
′
)
′
+
q
1
(
t
)
x
1
=
0
,
x
1
(
a
)
=
1
,
x
1
′
(
a
)
=
R
1
{\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,}
(
p
2
(
t
)
x
2
′
)
′
+
q
2
(
t
)
x
2
=
0
,
x
2
(
a
)
=
1
,
x
2
′
(
a
)
=
R
2
{\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,}
(
p
3
(
t
)
x
3
′
)
′
+
q
3
(
t
)
x
3
=
0
,
x
3
(
a
)
=
1
,
x
3
′
(
a
)
=
R
3
{\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}\,}
を三つの自己随伴形式 の二階同次線型微分方程式とし、
p
i
(
t
)
>
0
{\displaystyle p_{i}(t)>0\,}
a , b ] 内のすべての t に対して成立するものとし、
R
i
{\displaystyle R_{i}}
[a , b ] 内のすべての t に対して、
Δ
2
(
q
1
)
≥
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0}
Δ
2
(
p
1
)
≤
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0}
Δ
2
(
p
1
(
a
)
R
1
)
≤
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0}
の成立を仮定する。このとき、[a , b ] 上で
x
1
(
t
)
>
0
{\displaystyle x_{1}(t)>0}
x
2
(
b
)
=
0
{\displaystyle x_{2}(b)=0}
x
3
(
t
)
{\displaystyle x_{3}(t)}
a , b ] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b3b7f8e7f9192e1dd9e51512ded46fbe26a7d9)
