ボホナー積分

数学におけるボホナー積分（ボホナーせきぶん、英: Bochner integral）は、サロモン・ボホナーに名を因む、（単函数の積分の極限としての）ルベーグ積分のバナッハ空間に値をとる函数への拡張である。

定義

(X, Σ, μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 E_i と B の相異なる元 b_i を使って

s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}

なる形の和に表される。ただし、χ_E は集合 E の指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, b_i が 0 でないような i では必ず μ(E_i) が有限値となるならば、この単函数 s は可積分であるといい、その積分を

\int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 s_n で

\lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}d\mu =0

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分は

\int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L¹ に属することである。

性質

ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

\int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B₀ に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g⁻¹(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒ_n: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖f_n(x)‖_B ≤ g(x) を満たす g ∈ L¹(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で

\int _{X}\|f-f_{n}\|_{B}\,d\mu \to 0

および、任意の E ∈ Σ に対して

\int _{E}f_{n}\,d\mu \to \int _{E}f\,d\mu

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

\left\|\int _{E}f\,d\mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,d\mu

が任意の E ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数

E\mapsto \int _{E}f\,d\mu

は μ に関して絶対連続な X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

ラドン–ニコディム性

ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、 $μ$ を可測空間 $(X, Σ)$ 上の測度とすると、 $B$ が $μ$ に関するラドン–ニコディム性を持つとは、 $(X, Σ)$ 上の $B$ に値をとる任意の有界変動かつ $μ$ -絶対連続な可算加法的ベクトル測度 $γ$ に対して、 $μ$ -可積分函数 $g : X \to B$ で $\gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu$ を任意の可測集合 $E \in Σ$ に対して満たすものが存在することをいう^[1]。

バナッハ空間 $B$ がラドン–ニコディム性を持つとは、 $B$ が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。 $l 1$ はラドン–ニコディム性を持ち、 $c 0$ や $R n$ の有界開領域 $Ω$ に対する $L \infty (Ω)$ , $L 1 (Ω)$ および $C (Ω)$ はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。

脚注

^ The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56

参考文献

Bochner, Salomon (1933), “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind”, Fundamenta Mathematicae 20: 262–276
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5
Diestel, J.; Uhl, J. J. (1977), Vector measures, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1515-1
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-Groups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1031-6
Lang, Serge (1969), Real analysis, Addison-wesley, ISBN 0-201-04172-3 (now published by springer Verlag)
Sobolev, V. I. (2001), “Bochner integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56

[1]

ボホナー積分

目次

定義

性質

ラドン–ニコディム性

関連項目

脚注

参考文献