ベッセルの不等式

数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 $x$ の係数に関する不等式である・

$H$ をヒルベルト空間とし、 $e_{1},e_{2},...$ を $H$ 内の正規直交列とする。このとき、 $H$ 内の任意の $x$ に対し

\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}

が成立する。ここで〈•,•〉はヒルベルト空間 $H$ の内積を表す。

$e_{k}$ 方向のベクトル $x$ の無限和

x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},

を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 $e_{1},e_{2},...$ によって表現される $x'\in H$ が存在するものと考えることが出来る。

完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって $x'$ は $x$ となる）。

ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う：

0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}.

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