フォッカー・プランク方程式(英: Fokker–Planck equation)とは、統計力学でクラマース・モヤル方程式(英語版)においてn ≥ 3 の項のない次の方程式のことをいう。
![{\displaystyle {\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\alpha _{1}(x,t)P(x,t)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\alpha _{2}(x,t)P(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4ee796e2f2dc46b17b09028f80c6bfc3416d88)
物理量x (t) の揺動が確率微分方程式
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a(x,t)+b(x,t)R(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06e9260602d74d8882d4522ca8f979d0dab0fee)
という形で与えられるとする。ただし、R (t) は白色雑音のガウス過程:
![{\displaystyle \langle R(t)R(t')\rangle =D\delta (t-t')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941a9615261f48c2829c71caf02d20bd719d8c38)
である。このとき、x の確率分布P (x, t) はフォッカー・プランク方程式に従う。ただし係数の定義には以下の2つの流儀がある:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=a(x,t)\\\alpha _{2}(x,t)&=D(b(x,t))^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20417aea1672e719cb82bf46b7c372346926ea2a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=a(x,t)+{\frac {D}{2}}{\frac {\partial b}{\partial x}}(x,t)b(x,t)\\\alpha _{2}(x,t)&=D(b(x,t))^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfb1129d070d77e0789312c99edf6e084a19e16)
特に線形ブラウン運動(オルンシュタイン=ウーレンベック過程)に対する方程式を線形フォッカー・プランク方程式という。このときは
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=-\gamma x\\\alpha _{2}(x,t)&=D\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac9974e7944242d88fd01ea566526d256e6b45d)
となる(γ , D は定数)。これは
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\gamma x+R(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23ece8972537846b9b1aace549f526d57501104)
というランジュバン方程式に対応する。