ファインマン–カッツの公式 （ファインマン–カッツのこうしき、Feynman–Kac formula ）とは、放物型偏微分方程式 のコーシー問題 の解
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle \;u(\mathbf {x} ,t)\;}
ウィーナー過程
W
t
{\displaystyle \;W_{t}\;}
v
(
t
,
x
)
{\displaystyle \;v(t,x)\;}
[
0
,
T
]
×
R
d
{\displaystyle \;[0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;}
C
1
,
2
{\displaystyle \;C^{1,2}\;}
[ 注釈 8]
x
∈
R
d
{\displaystyle \;x\in \mathbb {R} ^{d}\;}
K
>
0
{\displaystyle \;K>0\;}
0
<
a
<
1
/
(
2
T
d
)
{\displaystyle \;0<a<1/(2Td)\;}
max
0
≤
t
≤
T
|
v
(
t
,
x
)
|
+
max
0
≤
t
≤
T
|
g
(
t
,
x
)
|
≤
K
e
a
|
|
x
|
|
2
,
{\displaystyle \;\max _{0\leq t\leq T}|v(t,x)|+\max _{0\leq t\leq T}|g(t,x)|\leq Ke^{a||x||^{2}},\;}
を満足すると仮定する[ 注釈 9] コルモゴロフ の後退方程式のコーシー問題
−
∂
v
∂
t
+
k
(
t
,
x
)
v
=
1
2
∇
2
v
+
g
(
t
,
x
)
,
t
∈
[
0
,
T
]
,
x
∈
R
d
,
v
(
T
,
x
)
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\;-{\frac {\partial v}{\partial t}}+k(t,x)v={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}v+g(t,x),\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\quad v(T,x)=f(x),\end{aligned}}\;}
の解
v
(
t
,
x
)
{\displaystyle \;v(t,x)\;}
v
(
t
,
x
)
=
E
x
[
f
(
W
T
−
t
)
exp
(
−
∫
0
T
−
t
k
(
W
s
)
d
s
)
+
∫
0
T
−
t
g
(
t
+
θ
,
W
θ
)
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
d
θ
]
,
t
∈
[
0
,
T
]
,
x
∈
R
d
,
{\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[f(W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)+\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\;}
で与えられる。
v
(
t
,
x
)
{\displaystyle \;v(t,x)\;}
[ 7]
E
x
{\displaystyle \;E^{x}\;}
t
=
0
{\displaystyle \;t=0\;}
x
{\displaystyle \;\mathbf {x} \;}
ブラウン運動 に関する期待値 を表す
[ 注釈 10]
確率過程 の観点から解釈しなおすと、ポテンシャル は時刻
t
{\displaystyle \;t\;}
k
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle \;k(\mathbf {x} ,t)dt\;}
killing )に
相当すると解釈できる。ポテンシャルが局所的に負になる場合は、負の最小値の分だけかさあげしてやれば
同様に解釈できる。
証明は、伊藤の公式 (Ito formula )(または伊藤の補題 (Ito's lemma ))と、
確率積分 の局所 マルチンゲール 性を適用して得られる。
基本的な確率過程 が
|
B
t
|
{\displaystyle \;|B_{t}|\;}
伊藤の公式 は適用できない。
しかし、関数
|
x
|
{\displaystyle \;|x|\;}
凸関数 (convex function )であるので
一般化されたされた伊藤の公式 (generalized Ito formula )を適用することで類似の公式が得られる。
t
{\displaystyle \;t\;}
v
(
t
+
θ
,
W
θ
)
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
{\displaystyle \;v(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\;}
伊藤の補題 を適用して、
d
[
v
(
t
+
θ
,
W
θ
)
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
]
=
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
[
−
g
(
t
+
θ
,
W
θ
)
d
θ
+
∑
j
=
1
d
∂
∂
x
j
v
(
t
+
θ
,
W
θ
)
d
W
θ
(
j
)
]
,
{\displaystyle \;d\left[v(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\right]=\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\left[-g(t+\theta ,W_{\theta })d\theta +\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}v(t+\theta ,W_{\theta })dW_{\theta }^{(j)}\right],\;}
を得る。ここで、右辺第2項は局所マルチンゲール [ 注釈 11] 停止時刻
S
n
:=
inf
(
t
≥
0
|
|
|
W
t
|
|
≤
n
d
,
n
≥
1
)
{\displaystyle \;S_{n}:=\inf(t\geq 0|||W_{t}||\leq n{\sqrt {d\,}},n\geq 1)\;}
0
<
r
<
T
−
t
{\displaystyle \;0<r<T-t\;}
v
(
t
,
x
)
=
E
x
[
∫
0
r
∧
S
n
g
(
t
+
θ
,
W
θ
)
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
d
θ
]
+
E
x
[
v
(
t
+
S
n
,
W
S
n
)
exp
(
−
∫
0
S
n
d
s
k
(
W
s
)
)
1
{
S
n
≤
r
}
]
+
E
x
[
v
(
t
+
r
,
W
r
)
exp
(
−
∫
0
r
d
s
k
(
W
s
)
)
1
{
S
n
>
r
}
]
,
{\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[\int _{0}^{r\land S_{n}}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right]+E^{x}\left[v(t+S_{n},W_{S_{n}})\exp \left(-\int _{0}^{S_{n}}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}\leq r\}}\right]+E^{x}\left[v(t+r,W_{r})\exp \left(-\int _{0}^{r}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}>r\}}\right],\;}
が言える。ただし、
x
∧
y
:=
max
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle \;x\land y:=\max(x,y),}
、
1
S
:=
{
1
if S is true.
0
otherwise
,
{\displaystyle {\mathbf {1} }_{S}:={\begin{cases}1&{\mbox{if S is true.}}\\0&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}\;}
である。ここで、右辺第1項は
E
x
[
∫
0
T
−
t
g
(
t
+
θ
,
W
θ
)
exp
(
−
∫
0
θ
k
(
W
s
)
d
s
)
d
θ
]
,
n
→
∞
,
r
↑
T
−
t
,
{\displaystyle \;E^{x}\left[\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}
へ収束する。一方、右辺第2項については
E
x
[
|
v
(
t
+
S
n
,
W
S
n
)
|
1
{
S
n
≤
T
−
t
}
]
≤
2
K
e
a
d
n
2
∑
j
=
1
d
(
P
x
[
W
T
(
j
)
≥
n
]
+
P
x
[
−
W
T
(
j
)
≥
n
]
)
,
{\displaystyle \;E^{x}\left[|v(t+S_{n},W_{S_{n}})|1_{\{S_{n}\leq T-t\}}\right]\leq 2Ke^{adn^{2}}\sum _{j=1}^{d}\left(P^{x}\left[W_{T}^{(j)}\geq n\right]+P^{x}\left[-W_{T}^{(j)}\geq n\right]\right),\;}
が言える。ところが
e
a
d
n
2
P
x
[
±
W
T
(
j
)
≥
n
]
≤
e
a
d
n
2
T
2
π
1
n
∓
x
(
j
)
e
−
(
n
∓
x
(
j
)
)
2
/
(
2
T
)
→
0
,
n
→
∞
,
{\displaystyle \;e^{adn^{2}}P^{x}\left[\pm W_{T}^{(j)}\geq n\right]\leq e^{adn^{2}}{\sqrt {{\frac {T}{2\pi }}\,}}{\frac {1}{n\mp x^{(j)}}}e^{-(n\mp x^{(j)})^{2}/(2T)}\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty ,\;}
ただし、
0
≤
a
≤
1
/
(
2
T
d
)
{\displaystyle \;0\leq a\leq 1/(2Td)\;}
E
x
[
v
(
T
,
W
T
−
t
)
exp
(
−
∫
0
T
−
t
k
(
W
s
)
d
s
)
]
,
n
→
∞
,
r
↑
T
−
t
,
{\displaystyle \;E^{x}\left[v(T,W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)\right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}
へ収束する。したがって、ファインマン-カッツの公式が証明された[ 7] QED
^ 物理学では、フォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck equation )と呼ぶこともある。
^ 実時間での経路積分 の場合、いかなる測度 も定義できないことが証明されている。
^ 普通のウィーナー測度
P
x
(
B
t
∈
d
d
ξ
)
=
(
1
2
π
t
)
d
/
2
exp
(
−
(
ξ
−
x
)
2
2
t
)
d
d
ξ
{\displaystyle \;P^{x}(B_{t}\in d^{d}{\boldsymbol {\xi }})=\left({\frac {1}{2\pi t}}\right)^{d/2}\exp \left(-{\frac {({\boldsymbol {\xi }}-\mathbf {x} )^{2}}{2t}}\right)d^{d}{\boldsymbol {\xi }}\;}
^ ポテンシャルがある場合は、純粋に確率過程 の理論のみで計算することは難しい。現実的には経路積分と同じテクニックで計算することになる。
^ 調和振動子 であれば簡単に計算できる。
1
r
2
(
r
:=
∑
n
=
1
d
x
n
2
)
{\displaystyle \;{\frac {1}{r^{2}}}\;(r:={\sqrt {\sum _{n=1}^{d}x_{n}^{2}}})\;}
ポテンシャル が加わっていても計算は近似なしにできるが、計算はややテクニックを要する。^ 例えば、1次元の半数直線
x
∈
R
+
{\displaystyle \;x\in \mathbb {R} _{+}\;}
B
t
{\displaystyle \;B_{t}\;}
|
B
t
|
{\displaystyle \;|B_{t}|\;}
^ 滞在時間(sojourn time)と呼ばれることもあるが、
最近の文献ではこの表現はあまり見かけない。
^ パラメータ
t
{\displaystyle \;t\;}
x
{\displaystyle \;x\;}
^
g
{\displaystyle \;g\;}
t
∈
[
0
,
T
]
×
R
d
{\displaystyle \;t\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;}
g
≥
0
{\displaystyle \;g\geq 0\;}
max
0
≤
t
≤
T
|
v
(
t
,
x
)
|
≤
K
e
a
|
|
x
|
|
2
{\displaystyle \;\max _{0\leq t\leq T}|v(t,x)|\leq Ke^{a||x||^{2}}\;}
^
B
t
{\displaystyle \;B_{t}\;}
B
t
+
x
{\displaystyle \;B_{t}+x\;}
測度
P
0
{\displaystyle \;P^{0}\;}
^ マルティンゲールではないことに注意。
^ R.P.Feynman, Rev.Mod.Phys. 20 (1948)367.
^ M.Kac, Transactions of the American Mathematical Society 65 (1949)1-13.
^ 中村徹著「超準解析と物理学」、日本評論社、1998、ISBN 4-535-78248-2 。同書での引用文献を参照。
^ 例えば、藤原大輔著「ファインマン経路積分の数学的方法」シュプリンガー・ジャパン、1999年、ISBN 978-4-431-70748-6 .
^ D.Peaks and A.Inomata, J.Math.Phys.10 (1969)1422.
^ 具体的な計算テクニックについては、H.Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics and Financial Markets(fifth edition), World Scienctific, ISBN 978-981-4273-56-5 や C.Grosche and F.Steiner, Handbook of Feynman Path Integrals, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-57135-3 などを参照。
^ a b I.Karatzas and S.E.Shreve, Brownian Motion
and Stochastic Calculus(second edition),
Springer Verlag, 1991, ISBN 0-387-97655-8 (New York), pp.268-269.
I.Karatzas and S.E.Shreve, Brownian motion and Stochastic Calculus(second edition), Springer verlag, 1991, ISBN 0-387-97655-8 (New York).
L.C.G.Rogers and D.Williams, Diffusions, Markov processes and Martingales vol.1 and vol.2(second edition), Cambridge University Press, 
![{\displaystyle \;[0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afe5c4b32ce9da0a6e031ef2f38e208576f830)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\;-{\frac {\partial v}{\partial t}}+k(t,x)v={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}v+g(t,x),\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\quad v(T,x)=f(x),\end{aligned}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a74301cc756d7c4cd4dfb281776fb97ad32841)
![{\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[f(W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)+\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcf68453c61b14a301d151ca46d7fd6c3532b38)
![{\displaystyle \;d\left[v(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\right]=\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)\left[-g(t+\theta ,W_{\theta })d\theta +\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}v(t+\theta ,W_{\theta })dW_{\theta }^{(j)}\right],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb74111b907219a8bc69fa27d6bbca64fa3db95d)
![{\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[\int _{0}^{r\land S_{n}}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right]+E^{x}\left[v(t+S_{n},W_{S_{n}})\exp \left(-\int _{0}^{S_{n}}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}\leq r\}}\right]+E^{x}\left[v(t+r,W_{r})\exp \left(-\int _{0}^{r}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}>r\}}\right],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc2b1bf3d2ee4e20af1d73cc8337b0c9254b844)
![{\displaystyle \;E^{x}\left[\int _{0}^{T-t}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe08de6428d3f1ba78fa287e494bb5d6d243558)
![{\displaystyle \;E^{x}\left[|v(t+S_{n},W_{S_{n}})|1_{\{S_{n}\leq T-t\}}\right]\leq 2Ke^{adn^{2}}\sum _{j=1}^{d}\left(P^{x}\left[W_{T}^{(j)}\geq n\right]+P^{x}\left[-W_{T}^{(j)}\geq n\right]\right),\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3f80d020fdf3f97bbd3e726c9381d5bd3ab92f)
![{\displaystyle \;e^{adn^{2}}P^{x}\left[\pm W_{T}^{(j)}\geq n\right]\leq e^{adn^{2}}{\sqrt {{\frac {T}{2\pi }}\,}}{\frac {1}{n\mp x^{(j)}}}e^{-(n\mp x^{(j)})^{2}/(2T)}\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty ,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d699b566dcf50a2b9014cb25a287b33550cae1a)
![{\displaystyle \;E^{x}\left[v(T,W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)\right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ddf8f47e4697c92bc55940fbc2c6637466352c)
![{\displaystyle \;t\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d03fc3a072da07cfeec5e3c47955c7397e1bd)
