ベクトルポテンシャル
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
スカラーポテンシャル
ϕ
{\displaystyle \phi }
m
{\displaystyle m}
q
{\displaystyle q}
Pauli equation (general)
[
1
2
m
(
σ
⋅
(
p
−
q
A
)
)
2
+
q
ϕ
]
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
⟩
{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }
ここで
σ
=
(
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}
パウリ行列 を簡便性のためベクトルの形に並べたもの、
p
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=-i\hbar \nabla }
運動量演算子 。
|
ψ
⟩
=
[
ψ
+
ψ
−
]
{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}
は2成分スピノル の波動関数 で、列ベクトルをブラ-ケット記法 で表している。
ハミルトニアン
H
^
=
1
2
m
[
σ
⋅
(
p
−
q
A
)
]
2
+
q
ϕ
{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})\right]^{2}+q\phi }
は、パウリ行列 が含まれるため 2 × 2 行列である。これをシュレーディンガー方程式に代入して得られるのがパウリ方程式である。このハミルトニアンは電磁場と相互作用する電荷の古典的ハミルトニアンの類似物である。古典の場合の詳細についてはローレンツ力 を参照。電磁場がないときの自由粒子の運動エネルギー 項は、運動量 を用いて単純に
p
2
2
m
{\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}}
最小結合 （英語版 ）
P
=
p
−
q
A
{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=p-q{\boldsymbol {A}}}
正準運動量 ）のように取り込まれる。
パウリベクトルの恒等式：
(
σ
⋅
a
)
(
σ
⋅
b
)
=
a
⋅
b
+
i
σ
⋅
(
a
×
b
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right)}
を使うとパウリ行列を運動エネルギー項から除くことができて、
Pauli equation (standard form)
H
^
|
ψ
⟩
=
[
1
2
m
[
(
p
−
q
A
)
2
−
q
ℏ
σ
⋅
B
]
+
q
ϕ
]
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}\right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }
が得られる[ 2]
B
=
∇
×
A
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}}
編集
パウリ方程式は非相対論的だが、スピンを取り込んではいる。そのため、以下の2つの中間に基礎を置いたものだと考えられる。
（複素数スカラー値の波動関数 に対する）よく知られたシュレーディンガー方程式。これは非相対論的で、スピンを予測しない。
（複素数4成分スピノル に対する）ディラック方程式。これは完全に特殊相対論的で、スピンを予測する。 パウリ行列の性質から、磁場のベクトルポテンシャル
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
ϕ のみがある場での通常のシュレーディンガー方程式に帰着される（ただし2成分スピノル に作用する点だけは異なる）ことに注意する：
(
p
2
2
m
+
q
ϕ
)
[
ψ
+
ψ
−
]
=
i
ℏ
∂
∂
t
[
ψ
+
ψ
−
]
{\displaystyle \left({\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}+q\phi \right){\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}
これより、粒子のスピンは磁場が存在しているときに限って運動に影響を与えることが分かる。
スピノルの2成分はいずれもシュレーディンガー方程式を満たす。外部磁場
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
Pauli equation (B-field)
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
±
⟩
=
(
(
p
−
q
A
)
2
2
m
+
q
ϕ
)
I
|
ψ
⟩
⏟
S
c
h
r
o
¨
d
i
n
g
e
r
e
q
u
a
t
i
o
n
−
q
ℏ
2
m
σ
⋅
B
|
ψ
⟩
⏟
S
t
e
r
n
−
G
e
r
l
a
c
h
t
e
r
m
{\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})^{2}}{2m}}+q\phi \right)\mathbb {I} {\boldsymbol {|}}\psi \rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {|}}\psi \rangle } _{\mathrm {Stern-Gerlach\,term} }}
となる。ここで
I
=
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbb {I} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}
は
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
恒等演算子 。
シュテルン＝ゲルラッハ項 は価電子 数1の原子のスピン方向に対して有効になり得る（例えば不均一な磁場中を進む銀原子）。
これと類似して、この項は異常ゼーマン効果 に見られるように、磁場によるスペクトル線（エネルギー準位に対応する）の分裂を生じさせる原因にもなる。
^ Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons , Zeitschrift für Physik (43) 601-623 （『磁気を持つ電子の量子力学について』（『ツァイトシュリフト・フュア・フィジーク』））
^ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1st ed.). Prentice Hall. p. 638–638. ISBN 0-582-44401-2
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff40193b8221e76bacd942e93bd61e2f38836dc)
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})\right]^{2}+q\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945638afbcec9f87d4334bc454cbf73897b46cee)
![{\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}}\right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711bd19160fdcc0b3d3b502b7530632a2b5de3f7)
