バナッハ・マズール・ゲーム

位相空間論、集合論 や ゲーム理論において、バナッハ・マズール・ゲーム とは、二人で行うtopological gameの一種で、空間からピンとなる元を得られるかどうかを問題にするものである。バナッハ・マズール・ゲームのコンセプトはベール空間のコンセプトとも関連がある。完全情報な無限陣取りゲームで最初期に研究されたものである。

定義と性質

一般的なバナッハ・マズール・ゲームの定義は次のようにする: 位相空間 $Y$, 固定された部分集合 $X\subset Y$, $Y$ の部分集合族 $W$ が次の性質を満たしているとする。

• $W$ の各元は空でない内部を持つ。
• $Y$ の空でない開集合は $W$ の元を部分集合として含む。

ここで、ゲーム $MB(X,Y,W)$ を次のように定める。二人のプレイヤー $P_{1}$ と $P_{2}$ は交互に $W$ の元 $W_{0}$, $W_{1}$, $\cdots$ を、$W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots$ が成り立つように取っていく。$P_{1}$ が勝つのは $X\cap (\cap _{n<\omega }W_{n})\neq \emptyset$ であるときかつ、そのときのみである。

このとき、以下のことが成り立つ。

• $P_{2}\uparrow MB(X,Y,W)$ であるのは $X$ が $Y$ において 第一類 (集合が第一類とか meager であるとは、それが nowhere-dense な集合の可算和として得られること。)であるとき、かつそのときのみである。
• $Y$ が完備距離空間であるとすると、$P_{1}\uparrow MS(X,Y,W)$ であるのは、$Y$ の空でないある開部分集合の中に $X$ がresidual(なんらかのmeager setの補集合であること)であるとき、かつそのときのみである。
• $X$ が $Y$ でBaire propertyを持つとき、$MB(X,Y,W)$ はdeterminedである。
• $P_{2}$ のいかなるwinning strategy(必勝戦略)も、stationaryなwinning strategyとして実現できる。

winning strategy に関する事実

どんな集合 $X$ が $P_{2}$ を必勝にしうるかという問題はごく自然なものである。もちろん、$X$ が空だったら $P_{2}$ は明らかに必勝である。なので、$P_{2}$ が winning strategy を持つことを保証するために$X$ はどれだけ"小さ"ければよいか、補集合がどれだけ"大き"ければよいかといった非公式的な概念を考えているものと捉えることができる。

winning strategiesに関する証明の例を挙げておく。

事実: $X$ が可算で、$Y$ がT₁で、$Y$ が孤立点を持たないなら、$P_{2}$ がwinning strategyを持つ。

証明: $X$ の要素を $x_{1},x_{2},\cdots$ と番号付けしておく。$W_{1}$ が $P_{1}$ に選ばれたとする。$U_{1}$ を $W_{1}$ の空でない内部とする。このとき、$U_{1}\setminus \{x_{1}\}$ は $Y$ の空でない開集合である。なので、$P_{2}$ は $W$ の元 $W_{2}$ を、これに部分集合として含まれるように取ることができる。$P_{1}$ は$W_{3}$ を $W_{2}$ の内側に取ることができる。$P_{2}$ は先ほどと同様の理由で、$W_{4}\subset W_{3}$ で $x_{2}$ を持たないようにとれる。この方法により、各点 $x_{n}$ はそれぞれ $W_{2n}$ には属さない、よって全ての $W_{n}$ の共通部分は $X$ のどの点も避けてしまう。Q.E.D

事実: $Y$ を位相空間とし、$W$ を$Y$ の部分集合の族で最初に挙げてある、ゲームをするために必要な二つの性質を満たすものとし、$X$ は $Y$ の部分集合とする。$P_{2}$ がwinning strategyを持つのは $X$ がmeagreであるとき、かつそのときのみである。

ただし、$X$ がmeagreでないからといって、$P_{1}$ がwinning strategyを持つと言えるわけではないことに注意。プレイヤーのいずれもwinning strategyを持っていないことだってありうる。: $Y$ が $[0,1]$ であって、$W$ が閉区間 $[a,b]$ から成り立っているとする。このとき、target set $X$ がBaire Propertyを持つなら、ゲームがdeterminedである。選択公理の下では、$[0,1]$ の部分集合でバナッハ・マズール・ゲームをdeterminedにしないものがある。

参考文献

[1957] Oxtoby, J.C. The Banach–Mazur game and Banach category theorem, Contribution to the Theory of Games, Volume III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159–163

[1987] Telgársky, R. J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach–Mazur Game, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276.[1] (3.19 MB)

[2003] Julian P. Revalski The Banach-Mazur game: History and recent developments, Seminar notes, Pointe-a-Pitre, Guadeloupe, France, 2003-2004 [2]