φ
{\displaystyle \varphi }
z 軸の周りの120度の回転を
ψ
{\displaystyle \psi }
G とする。
回転軸を適当に選べば、
φ
,
ψ
{\displaystyle \varphi ,\psi }
φ
,
ψ
,
ψ
2
{\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}
α
,
β
,
γ
,
δ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }
m
1
,
m
2
,
…
,
m
n
{\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}}
α
=
ψ
m
1
φ
ψ
m
2
⋯
φ
ψ
m
n
φ
β
=
φ
ψ
m
1
φ
ψ
m
2
⋯
φ
ψ
m
n
γ
=
φ
ψ
m
1
φ
ψ
m
2
⋯
φ
ψ
m
n
φ
δ
=
ψ
m
1
φ
ψ
m
2
⋯
φ
ψ
m
n
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}}
α
≠
1
{\displaystyle \alpha \neq 1}
β
,
γ
,
δ
≠
1
{\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1}
λ
=
cos
2
3
π
=
−
1
2
,
μ
=
sin
2
3
π
=
3
2
,
{\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},}
(
ψ
)
{
x
′
=
x
λ
−
y
μ
y
′
=
x
μ
+
y
λ
z
′
=
z
.
(
φ
)
{
x
′
=
−
x
cos
ϑ
+
z
sin
ϑ
y
′
=
−
y
z
′
=
x
sin
ϑ
+
z
cos
ϑ
(
ψ
φ
)
{
x
′
=
−
x
λ
cos
ϑ
+
y
μ
+
x
λ
sin
ϑ
y
′
=
−
x
μ
cos
ϑ
−
y
λ
+
z
μ
sin
ϑ
z
′
=
x
sin
ϑ
+
z
cos
ϑ
{\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}}
であり、
(
ψ
2
φ
)
{\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )}
(
ψ
φ
)
{\displaystyle (\psi \varphi )}
μ
{\displaystyle \mu }
−
μ
{\displaystyle -\mu }
(
ψ
2
φ
)
{\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )}
(
ψ
φ
)
{\displaystyle (\psi \varphi )}
n 個の積を
t
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle ^{t}(0,0,1)}
x
=
sin
ϑ
(
a
cos
ϑ
n
−
1
+
…
)
y
=
sin
ϑ
(
b
cos
ϑ
n
−
1
+
…
)
z
=
c
cos
ϑ
n
+
…
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}}
であることが分かる．
α
{\displaystyle \alpha }
t
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle ^{t}(0,0,1)}
z 座標は
z
=
(
3
2
)
n
−
1
cos
ϑ
n
+
⋯
{\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots }
である。右辺は
cos
ϑ
{\displaystyle \cos \vartheta }
代数的数 である。
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
cos
ϑ
{\displaystyle \cos \vartheta }
超越数 なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。
回転 (G) を3つの集合A , B , C に分割することができる。
A が単位元1 を持つ。
ρ
{\displaystyle \rho }
A に属するとき、
φ
ρ
{\displaystyle \varphi \rho }
A + B に属する。
ρ
{\displaystyle \rho }
A に属するとき、
ψ
ρ
,
ψ
2
ρ
{\displaystyle \psi \rho ,\psi ^{2}\rho }
B , C に属する。1 は、A に属するものとする。
φ
,
ψ
{\displaystyle \varphi ,\psi }
B に属するものとする。
ψ
2
{\displaystyle \psi ^{2}}
C に属するものとする。
ψ
n
{\displaystyle \psi _{n}}
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
2
{\displaystyle \psi ^{2}}
φ
,
ψ
,
ψ
2
{\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}
n 個の積とする。
φ
n
{\displaystyle \varphi _{n}}
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
,
ψ
,
ψ
2
{\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}
n 個の積とする。
ψ
n
{\displaystyle \psi _{n}}
A , B , C に属するならば、
φ
ψ
n
{\displaystyle \varphi \psi _{n}}
B , A , A に属するようにする。
φ
n
{\displaystyle \varphi _{n}}
A , B , C に属するならば、
ψ
φ
n
{\displaystyle \psi \varphi _{n}}
B , C , A に属するようにする。
ψ
2
φ
n
{\displaystyle \psi ^{2}\varphi _{n}}
C , A , B に属するようにする。
このような手続きにより、G は3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。
A
1
φ
ψ
,
φ
ψ
2
,
ψ
2
φ
φ
ψ
φ
⋯
B
φ
,
ψ
φ
ψ
2
φ
,
ψ
φ
ψ
,
ψ
φ
ψ
2
⋯
C
ψ
2
ψ
φ
ψ
2
φ
ψ
,
ψ
2
φ
ψ
2
⋯
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}}
1と異なるG の要素のK での固定点をQ とする。Q は可算集合である。P = K - Q と置く。x の軌道を
P
x
{\displaystyle P_{x}}
P
x
=
P
y
{\displaystyle P_{x}=P_{y}}
P
x
∩
P
y
=
∅
{\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset }
G
=
⋃
x
∈
M
P
x
{\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}}
選択公理 により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをM とする。
このとき
A
′
=
{
g
x
|
g
∈
A
,
x
∈
M
}
B
′
=
{
g
x
|
g
∈
B
,
x
∈
M
}
C
′
=
{
g
x
|
g
∈
C
,
x
∈
M
}
{\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}}
A
′
,
B
′
,
C
′
{\displaystyle A',B',C'}
A , B , C と書き直すと
P
=
A
∪
B
∪
C
{\displaystyle P=A\cup B\cup C}
φ
A
=
B
∪
C
,
ψ
A
=
B
,
ψ
2
A
=
C
{\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C}
であるから、
A
,
B
,
C
,
B
∪
C
{\displaystyle A,B,C,B\cup C}
