この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "ハイゼンベルク群" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2016年10月) |
可換環 A 上のハイゼンベルク群 (英: Heisenberg group) とは、通常の行列の積に関して
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&b&c\\0&1&a\\0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc631091cc3518163af56a1229adad8e4f083e5)
の形をした行列がなす群である。これは群の中心と交換子部分群が一致する非可換な冪零群であり、 H(A) などと表される。係数環 A としては実数体 R、整数環 Z、有限体 Z/pZ などを考えることが多い。
H(R) は3次元の単連結なリー群であり、任意の元は指数写像(行列の指数関数)を用いて
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&b&c+{\tfrac {1}{2}}ab\\0&1&a\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&b&c\\0&0&a\\0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ba67e440de455c4c12e01702d9cdd988d2c5c4)
と表すことができる。
H(Z) は H(R) の離散部分群であり、任意の元は
![{\displaystyle x={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad y={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad z={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04261e590a0221b26be38daf13851abf49981ebf)
とおけば xaybzc と表せることがわかる。また z = y−1x−1yx が成り立つので H(Z) は x と y の2元から生成される。
H(Z/pZ) は一般線型群 GL3(Z/pZ) のシロー p 部分群で、位数は p3 である。p が奇素数のとき、すべての元 g は gp = 1 を満たす。