ノート:写像の反復

改名提案

ページ名を、一般的に使われている「反復関数」に改名する事を提案致します。--114.19.56.19 2015年1月22日 (木) 05:56 (UTC)

反対寄りのコメントとなります。確かに「反復合成写像」という言葉はあまり使用例が少なそうです。

• 「"反復合成写像" -wikipedia」でのgoogle検索結果：[1]　約 480 件
• 「反復合成写像」でのCiNii検索結果：[2]　0件

ただ、「反復関数」は使用例は多いのですが、フラクタル分野での「反復関数系(Iterated Function System:IFS)」という形での使用が多いのが引っ掛かります。

• 「"反復関数" -wikipedia」でのgoogle検索結果：[3]　約 2,640 件
• 「反復関数」でのCiNii検索結果：[4]　70件

また、本記事は集合と写像の言葉をもとに書かれた内容ですので、「反復関数」が適してるかどうか疑問があります。私としては、やや使用例は少ないですが「反復写像」という記事名が適していると思ってます。

• 「"反復写像" -wikipedia」でのgoogle検索結果：[5]　約 368 件
• 「反復写像」でのCiNii検索結果：[6]　9件

google検索数は「反復合成写像」よりも少ないですが、「反復合成写像」の検索はwikipediaを引き算検索してもwikipedia由来の文章に引っ掛かって下駄を履かせているようです。こちらの論文でも（[7]）、反復関数システム(Iterated Function System:IFS)と反復写像という言葉を使い分けているようです。英語版の記事は「Iterated function」へリンクされていますが、英語ではmapとfunctionはあまり使い分けずfunctionを多用するようですので、写像と関数を使い分ける場合の多い日本語としての記事名を考えるときは「写像」という言葉を付けるのが適していると思います。--Yapparina（会話） 2015年1月26日 (月) 15:07 (UTC)

コメントありがとうございます。私は、特に数学に精通している訳ではありませんが（だからこそ、と言えるかもしれませんが）、「反復合成写像」という言葉を聞いた事がありません。ただ「なぜ、「Iterated Function System」は「反復関数系」と訳されるのに、「Iterated Function」が「反復合成写像」なのか」と、疑問に感じ調べてみると、「反復合成写像」は当Wikiで独自に作られた修飾辞である事を発見した次第です。

Yapparina 様のご意見はなるほどと思いました。ただ、「Iterated Function System」が「反復関数系」なのに、あえて「Iterated Function」を「反復写像」と訳すのなら、それなりの理由が必要だと思います。しかし、「関数」ではなく「写像」を選択した方が良い、という十分な根拠を見出せません。この項目には「関数」よりも「写像」の方が適している、という根拠をご教授頂けないでしょうか?

また、数学を専攻されている方等、当分野に造詣の深い方のご意見（「反復写像（反復関数）」という語は常用される、等）を伺わせて頂きたいです。--114.19.56.19 2015年1月27日 (火) 13:17 (UTC)

集合論、カオス理論、力学系、フラクタル関係の数学書籍で使用状況を調べてみました。まず「反復合成写像」ですが、神保・本多/数学書房/2011『位相空間』p-21で、記事の通りの定義で「反復合成写像」と呼んでましたので、本記事立項者が参考にしたかどうかは分かりませんが、少なくともwikipediaが勝手に作った独自用語には該当しないようです。（本記事立項は2014年なのでwikipedia記事名に書籍が影響を受けたということもないです）。あと、web上で発見したものとして、この2008年の博士論文（[8]）でも「反復合成写像」という言葉は使用しているようです。要旨を読む限りですが本記事の定義と同じでしょう。

上記で私が提案した「反復写像」については、Steven H. Strogatz/田中ほか(訳)/丸善出版/2015『非線形ダイナミクスとカオス』p6、本田/朝倉書店/2002『フラクタル』p16、で使用されていました。

また、Manfred Schroeder/竹迫(訳)/森北出版/1996『フラクタル・カオス・パワー則』では、「反復写像」が使用され、なおかつ「反復関数系」も使用され、2つの言葉が書籍中で共存して使い分けられておりました。上記でも示しました論文（[9]）でも「反復写像」と「反復関数システム」という言葉で共存しています。「反復関数系」という用語が使用される状況であっても「反復関数」ではなく「反復写像」が使用されているのは、「反復写像」が用語としてそれなりに確立している証拠かと思います。

「反復関数」については、臼田ほか/オーム社/1999『カオスとフラクタル』で使用されていました。ただ、この記事の定義を説明しているというよりは、「反復関数系」のための写像（関数）を説明するために使用しており、書籍中ではx_n+1=ax_n+x₀、y_n+1=by_n+y₀で定義されているようです。

以上から、外部の日本語の使用状況を見ても、本記事に対しては「反復関数」よりも「反復写像」あるいは「反復合成写像」が妥当だと思います。記事中に「反復合成写像 (iterated function)」と書かれているのが気になるなら、iterated functionを消去しても良いですし、より直訳に近いiterated mapと書いても良いと思います。何で英語版wikipediaではiterated functionで統一されているのか分かりませんが、本記事の定義でiterated mapという英語も存在しています（[10]）。

正直に申しまして私は数学を専攻したことはありません（だから上記に書いていることは間違っていかもしれないけどご勘弁くださいとかの身勝手な言い訳にする気はないですが）。114.19.56.19さんが数学を専攻されている方や当分野に造詣の深い方などから意見を伺いたいようであれば、プロジェクト:数学やWikipedia:コメント依頼で意見を募ってみてください。--Yapparina（会話） 2015年1月31日 (土) 13:53 (UTC)

丁寧なご回答ありがとうございます。Yapparina 様は謙遜なさっていますが、文献から様々な例を提示されるところ、かなり当分野に明るい方だと感じました。

Yapparina 様のコメントを読むうち、私は自分の疑問点に気付きました。私は、本記事のページ名よりも、「「反復関数系」が「反復関数の系」ならば、その「反復関数」たる語を説明するページがなぜ存在しないのか?」という事が疑問でした。最初は、無意識の内に「反復関数＝このページ」だと考えていましたが、Yapparina 様の回答を読んでいると、「このページが示すものはあくまで「反復合成写像」であり、「反復関数」は用途からしてその性格を異にするのか」と思い至りました。

ならば、本記事とは別に、「反復関数系」が示す新たな「反復関数」たるページが必要なのでしょうか?--114.19.56.19 2015年1月31日 (土) 15:49 (UTC)

「反復関数系」という言葉の「反復関数」の"意味"というか"ニュアンス"というか"大きく指し示すもの"は、本記事の「反復合成写像」が示している概念であると思っても間違いではないと思いますよ。しかし、日本語の用語の使用状況的に、本記事の概念に当てる用語は「反復関数」よりも「反復合成写像」または「反復写像」が最適であり、「反復関数」への改名は反対します、というのが上記までの意見です。だから「反復関数系」が示す新たな「反復関数」のページを作る必要はないと思います。

一方、「反復関数系」のきちんとした定義は「反復関数の系」とか大雑把なものではなく、もっと数学的に限定されて定義されています。上で"ニュアンス"や"大きく指し示すもの"と書いたのはそういう意味で別物だからです。噛み砕いて説明できるほどの理解は私もしていませんので、こっちのウェブサイト（[11]）や反復関数系の提唱者の原論文（[12]）の定義を参照してもらえればと思います。--Yapparina（会話） 2015年2月7日 (土) 08:37 (UTC)

改名提案

色々と関連文献を漁っても「反復合成写像」はほとんど使われていないので、現在の記事名は妥当ではなさそうです。どちらかと言えばマイナーな概念なのではっきりとコレというものはありませんが、記事主題の操作は単に「反復」と呼ぶことが比較的多いので「写像の反復」を改名先として提案します。以下は各文献における用語の使用状況調査結果です。--Yapparina（会話） 2021年11月10日 (水) 12:22 (UTC)

• Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）、後藤 憲一（訳）、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版
  • 「反復(iteration)」で索引に記載
  • 用例
    • 「ゆえに、個体数の終局的振舞いは関数fの反復の漸近的振舞いに密接に関係している」p.5
    • 「Fの反復によるb_iの振舞いは知っているので、この4つの区間がFによってどのように写されるかがわかる」p.84
• 徳永 隆治、1990、「カオスとフラクタル」、合原 一幸（編）『カオス ―カオス理論の基礎と応用』初版、サイエンス社〈Information & Computing 49〉
  • 索引にはないが、「反復」を使用。
    • 用例
    • 「以降Σ上に打たれる交点をx₁, x₂,…, x_nとして、ポアンカレ写像Pの反復によって得られたと考えよう。」p.73
• Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版
  • 索引にはないが「反復」を使用
  • 用例
    • 「fⁿはfのn回反復を表す。」p.338
    • 「Tの何回かの反復によって[0, 1]全体に写されるような、…」p.353
• P.コレ；J-P.エックマン、森 真（訳）、1993、『カオスの出現と消滅 ―1次元単峰写像を中心として』第1版、遊星社
  • 「反復」で索引に記載
  • 用例
    • 「この本の話題はfの反復を研究することである。」p.57
• K.T.アリグッド；T.D.サウアー；J.A.ヨーク、津田 一郎（監訳）、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏（訳）、2012、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版
  • 索引にはないが「反復」を使用
  • 用例
    • 「初期値(x,y )=(0,0)から始めてこの写像を反復すると…」p.56
    • 「これまで線形写像を反復することを学んできたので、…」p.72
• 久保 泉・矢野 公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店
  • 「繰り返し」で索引に記載
  • 用例
    • 「…φⁿ、n > 0、はφのn回の繰り返し(iteration)、すなわちn回の合成…を表し」pp.155-156
• デニー・グーリック、前田 恵一・原山 卓久（訳）、1995、『カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ』初版、産業図書
  • 「写像の繰返し」で索引に記載
  • 用例
    • 「これらの数列を、x₀の写像fの繰返し(iterate)という。」p.2
    • 「xが任意の正の数のとき、xの写像の繰返しはfの零点に近づくことを示せ。」p.15
• Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版
  • 「反復写像」で索引に記載、ただし本文では単に「反復」と呼ぶ例も多い
  • 用例
    • 「ゆえに、pとqは2回反復写像f²(x)の固定点である。」p.394
    • 「たとえば10,000回程度、写像の反復をさらに計算せよ。」p.403
• 上田 哲生・谷口 雅彦・諸沢 俊介、1995、『複素力学系序説』、培風館
  • 索引にはないが「反復合成」を使用
  • 用例
    • 「写像P:C→Cをくり返しほどこす（反復合成する）とき、zの像がどのような動きをするか、…」p.1
    • 「有理関数もしくは超越整関数の反復合成において、そのファトゥ集合が…」p.69