ディリクレ環

数学におけるディリクレ環（ディリクレかん、英: Dirichlet algebra）とは、あるコンパクトハウスドルフ空間 X に関連する特定のタイプの環のことを言う。ディリクレ環は X 上の有界連続関数の一様環 C(X) の閉部分環であり、その実部は X 上の有界連続「実」関数の環において稠密である。この概念は Andrew Gleason (1957) によって導入された。

例

${\mathcal {R}}(X)$ を $X$ 上で連続なすべての有理関数の集合とする。すなわち、$X$ に極を持たない関数の集合とする。このとき

${\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X)+{\bar {{\mathcal {R}}(X)}}$

は $C(X)$ および $C\left(\partial X\right)$ の *-部分環である。${\mathcal {S}}$ が $C\left(\partial X\right)$ において稠密であるとき、${\mathcal {R}}(X)$ のことをディリクレ環（Dirichlet algebra）と呼ぶ。

ある作用素 $T$ が $X$ をスペクトル集合として持ち、${\mathcal {R}}(X)$ がディリクレ環であるなら、$T$ には正規境界伸張（normal boundary dilation）が存在する。これは、

$X=\mathbb {D}$

とした場合の結果であるナジーの伸張定理を一般化するものである。

参考文献

• Gleason, Andrew M. (1957), “Function algebras”, in Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle, Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann surfaces ; seminar IV : theory of automorphic functions ; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras, 2, Institute for Advanced Study, Princeton, pp. 213–226, Zbl 0095.10103 
• Nakazi, T. (2001), “Dirichlet algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dirichlet_algebra 
• Completely Bounded Maps and Operator Algebras Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6
• Wermer, John (November 2009), Gleason's work on Banach algebras, in Bolker, Ethan D., “Andrew M. Gleason 1921–2008”, Notices of the American Mathematical Society 56 (10): 1248–1251, http://www.ams.org/notices/200910/rtx091001236p.pdf .