数学におけるディリクレ環(ディリクレかん、: Dirichlet algebra)とは、あるコンパクトハウスドルフ空間 X に関連する特定のタイプののことを言う。ディリクレ環は X 上の有界連続関数の一様環 C(X) の閉部分環であり、その実部は X 上の有界連続「実」関数の環において稠密である。この概念は Andrew Gleason (1957) によって導入された。

   上で連続なすべての有理関数の集合とする。すなわち、 を持たない関数の集合とする。このとき

 

  および   の *-部分環である。   において稠密であるとき、  のことをディリクレ環(Dirichlet algebra)と呼ぶ。

ある作用素   スペクトル集合として持ち、  がディリクレ環であるなら、  には正規境界伸張(normal boundary dilation)が存在する。これは、

 

とした場合の結果であるナジーの伸張定理を一般化するものである。

参考文献

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  • Gleason, Andrew M. (1957), “Function algebras”, in Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle, Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann surfaces ; seminar IV : theory of automorphic functions ; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras, 2, Institute for Advanced Study, Princeton, pp. 213–226, Zbl 0095.10103 
  • Nakazi, T. (2001), “Dirichlet algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dirichlet_algebra 
  • Completely Bounded Maps and Operator Algebras Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6
  • Wermer, John (November 2009), Gleason's work on Banach algebras, in Bolker, Ethan D., “Andrew M. Gleason 1921–2008”, Notices of the American Mathematical Society 56 (10): 1248–1251, http://www.ams.org/notices/200910/rtx091001236p.pdf .