チェビシェフの和の不等式

チェビシェフの和の不等式（チェビシェフのわのふとうしき、英: Chebyshev's sum inequality）は、パフヌティ・チェビシェフの名にちなんだ不等式である。

2つの数列 {a_k}, {b_k} が単調減少列であるとき、すなわち

$a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}$

であるとき、以下の不等式が成り立つ。

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

一方が単調減少列で他方が単調増加列、すなわち

$a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$

$b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}$

である場合は、以下の不等式が成り立つ。

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

証明

チェビシェフの和の不等式の証明には、rearrangement inequality を用いる。まず

$a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.\,$

を仮定する。Rearrangement inequalityにより、

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,$

は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与えることがわかる。よって、

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,$

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,$

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}\,$

$\vdots \,$

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}$

となる。両辺それぞれについて総和を取って、

$n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n});$

これを$n^{2}$で割ると、以下の不等式が得られる。

${\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.$

連続バージョン

チェビシェフの和の不等式には、連続バージョンも存在する。

f および g を区間 [0, 1] で積分可能な実数値関数とし、ともに単調増加もしくは単調減少であると仮定する。このとき、

$\int fg\geq \int f\int g$

この不等式は任意の空間における積分に一般化することが可能である。