セグレの多重複素数

数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、英: Multi­complex number）ℂ_n は、Segre (1892) が導入した、各自然数（0 を含む） n ∈ ℕ に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれは ℝ 上 2ⁿ-次元の可換結合多元環を成す。

定義

再帰的

多重複素数環 ℂ_n は、初期値 ℂ₀ ≔ ℝ から再帰的に構成することができる。

n ≥ 1 のとき、ℂ_n−1 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位i_n ∉ ℂ_n−1 を i2
n = −1 および他の虚数単位 i₁, …, i_n−1 と可換なるものとして導入し、$$\mathbb {C} _{n}:=\{x+yi_{n}\mid (x,y)\in \mathbb {C} _{n-1}^{2}\}$$ と置く。

直截的

n ≥ 1 に対し、 1 および i_n は ℂ_n−1 の任意の数と可換、また span(1, i_n) ∉ ℂ_n−1（特に i_n ∉ ℂ_n−1）とする。

関係式 ℂ_n = {x + yi_n  |  (x, y) ∈ ℂ_n−1²} は代数のテンソル積を用いて ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ span(1, i_n) と書き直せる。さらに言えば、条件 i2
n = −1 から span(1, i_n) ≅ ℂ であり、ℂ_n ≔ ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ と書いてもよい。ℝ はテンソル積 ⊗_ℝ の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると $$\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ factors}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \qquad (\forall n\in \mathbb {N} ).$$

代数的性質

• 各階 n において成分数は倍化し、ℂ₀ ≔ ℝ が ℝ 上一次元であるから、ℂ_n は ℝ 上の次元が 2ⁿ である。
• 各 ℂ_n はバナッハ代数を成す。
• n ≥ 2 に対し、可換環 ℂ_n は零因子を持つ: なんとなれば
  • 二つの自然数が a ≠ b のとき、i_a − i_b ≠ 0 かつ i_a + i_b ≠ 0 だが (i_a − i_b)(i_a + i_b) = i2
    a − i2
    b = 0 を満たす;
  • 二つの自然数が a ≠ b のとき、i_a⋅i_b − 1 ≠ 0 かつ i_a⋅i_b + 1 ≠ 0 だが (i_a⋅i_b − 1)(i_a⋅i_b + 1) = i2
    a⋅i2
    b − 1 = 0 を満たす。

部分環

• n ≥ 1 に対し、ℂ₀, …, ℂ_n−1 は何れも ℂ_n の部分環である。
• k ≤ n に対し、ℂ_n は ℂ_k 上 2^n−k-次元である。
• n ≥ 1 に対し、各虚数単位 i_k は i2
  k = −1 を満足するから、ℂ_n は複素数平面の n 個のコピーを含む。
• n ≥ 2 および a ≠ b に対し、数 j_a,b ≔ i_a⋅i_b = i_b⋅i_a は j_a,b² = 1 を満たすから、ℂ_n は n(n−1)/2 個の分解型複素数平面を含む。

系列の最初のほうの代数

小さい n に対してはよく知られた代数も含まれる:

• ℂ₀ ≔ ℝ は実数体;
• ℂ₁ ≔ ℂ は複素数体;
• ℂ₂ ≔ ℂ ⊗_ℝ ℂ は双複素数環;
• ℂ₃ を三重複素数環 (tri­complex numbers) と呼ぶ。以降も同様。

関連項目

参考文献

• （イタリア語） Segre, Corrado (1892), “The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities”, Mathematische Annalen 40 
• （英語） Price, G. Baley (1991), An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, New York: Marcel Dekker