ゲーゲンバウアー多項式

数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) $C_{n}^{(\alpha )}(x)$ とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー (1849–1903) にちなんで命名された、区間 $[-1,1]$ 上で定義される重み関数 $(1-x^{2})^{\alpha -1/2}$ の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式の特殊事例である。

性質

• 
  α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式

• 次の母関数により定義される：

${\begin{aligned}{\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}&=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\\{\frac {1-xt}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha +1}}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+2\alpha }{2\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\end{aligned}}$

• 次の漸化式を満たす：

${\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{(\alpha )}(x)&={\frac {1}{n}}\left[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(x)\right]\end{aligned}}$

• 次の常微分方程式（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：

$(1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0$

• ロドリゲスの公式により次のように導出できる：

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]$

• 次の直交関係を満たす：

$\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{nm}$

• ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ：

$C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (n+\alpha -r)}{r!(n-r)![\Gamma (\alpha )]^{2}}}\cos(2r-n)\theta$

• $\alpha =1/2$ の場合がルジャンドル多項式に、$\alpha =1$ の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

参考文献

• 森口, 繁一、宇田川, 銈久、一松, 信『岩波数学公式 Ⅲ』（新装版）、1987年。ISBN 4-00-005509-7。 
• Milton Abramowitz; Irene A. Stegun, ed (1965-06-01). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4 
• Weisstein, Eric W. "Gegenbauer Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語).

関連項目

• 超球面