ケイリー=アロンホルトの微分作用素

数学において、ケイリー=アロンホルトの微分作用素(ケイリー=アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者ジークフリート・ハインリッヒ・アロンホルト英語版に因む。二次の特殊線形リー環表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。

定義

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 不定元とし、標数0の K を係数とする多項式に対し、

 
 
 

で定義される、多項式環   上の微分  ケイリー=アロンホルトの微分作用素という。

単項式   に対し、その次数  、重さ   は、

 
 

で定義される。

  の作用で次数   は不変であるが、重さ   については、

 
 
 

が成り立つ。

全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式   に対し、その指数  

 

で定めると

 

が成り立つ。

二次特殊線形リー環の表現

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交換子積 で定めると、 同士の交換子は、

 

の関係を満たす。

これは二次特殊線形リー環 基底

 

が満たす関係

 

に対応している。

そこで、 を対応関係

 

で与えれば、  表現空間とする リー代数の表現となる。

参考文献

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関連項目

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