リーマン幾何学 において、クリストッフェル記号 （クリストッフェルきごう、英 : Christoffel symbols ）またはクリストッフェルの三添字記号 （クリストッフェルのさんそえじきごう、英 : Christoffel three index symbols ）とは、測地線 の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う[ 1]
クリストッフェル記号には第一種記号
[
j
k
,
a
]
{\displaystyle \left[j\;k,a\right]}
{
i
j
k
}
{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}}
[ 2]
リーマン幾何学においては、n 次元多様体と呼ばれる空間上にある曲線
xh = xh (t ), t 1 ≦ t ≦ t 2 の長さを、積分
I
=
∫
t
1
t
2
∑
i
,
j
g
i
j
(
x
)
d
x
i
d
t
d
x
j
d
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x){\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\,\mathrm {d} t}
で計算できるように、各座標近傍内に
gij (x ) = gji (x )という関数（基本計量テンソル と呼ばれる）が与えられている。この積分の第一変分 δI を 0 とおくことで得られるオイラー・ラグランジュの微分方程式 は、測地線に沿っての孤の長さを媒介変数にとれば、
d
2
x
h
d
s
2
+
∑
j
,
i
{
h
j
i
}
d
x
j
d
s
d
x
i
d
s
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{h}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\sum _{j,i}\left\{{{h} \atop {j\;i}}\right\}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} s}}=0}
となる[ 注釈 1] 測地線 の微分方程式と呼ぶ。なお、ここで
{
h
j
i
}
=
∑
a
1
2
g
h
a
(
∂
g
i
a
∂
x
j
+
∂
g
j
a
∂
x
i
−
∂
g
j
i
∂
x
a
)
{\displaystyle \left\{{{h} \atop {j\;i}}\right\}=\sum _{a}{\frac {1}{2}}g^{ha}\left({\frac {\partial g_{ia}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ji}}{\partial x^{a}}}\right)}
であり、これを（第二種）クリストッフェル記号 （Christoffel symbol (of the second kind)）と呼ぶ。
クリストッフェル記号は、計量テンソル から導かれたレヴィ・チヴィタ接続 に対する、座標空間での表示式である[ 注釈 2] [ 注釈 3] [ 注釈 4] [ 注釈 5]
n次元微分多様体 M 上の各点近傍に定まる座標系を x h h = 1, 2, ..., n)[ 注釈 6]
g
i
j
(
x
)
=
g
j
i
(
x
)
{\displaystyle g_{ij}(x)=g_{ji}(x)}
が与えられているものとする[ 注釈 7]
なお以下においては、アインシュタインの和の規約 を用いる。
第一種クリストッフェル記号は基本計量テンソルから
[
j
k
,
a
]
=
1
2
(
∂
g
j
a
∂
x
k
+
∂
g
k
a
∂
x
j
−
∂
g
j
k
∂
x
a
)
{\displaystyle \left[j\;k,a\right]={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ka}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)}
と定義される。
第二種クリストッフェル記号は同じく基本計量テンソルまたは第一種クリストッフェル記号から
{
i
j
k
}
=
1
2
g
i
a
(
∂
g
j
a
∂
x
k
+
∂
g
k
a
∂
x
j
−
∂
g
j
k
∂
x
a
)
=
g
i
a
[
j
k
,
a
]
{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}={\frac {1}{2}}g^{ia}\left({\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ka}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)=g^{ia}\left[j\;k,a\right]}
と定義される。
第二種クリストッフェル記号が定義されていない代わりに、接続の記号 Γk ij とともに共変微分 が定義されている場合[ 注釈 8] [ 注釈 9]
二階共変テンソル S ij 定義より 、
∇
j
S
i
k
=
∂
S
i
k
∂
x
j
−
Γ
j
i
a
S
a
k
−
Γ
j
k
a
S
i
a
{\displaystyle \nabla _{j}S_{ik}={\frac {\partial S_{ik}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ji}^{a}S_{ak}-\Gamma _{jk}^{a}S_{ia}}
である。また、二階共変テンソルであるリーマン多様体 M の基本計量テンソル g ik
∇
j
g
i
k
=
0
,
∇
j
g
i
k
=
0
{\displaystyle \nabla _{j}g_{ik}=0,\;\;\nabla _{j}g^{ik}=0}
が一般の接続の記号 Γk ij から定義される共変微分についてもそのまま成り立つものとされているとすると、
∇
j
g
i
k
=
∂
g
i
k
∂
x
j
−
Γ
j
i
a
g
a
k
−
Γ
j
k
a
g
i
a
=
0
{\displaystyle \nabla _{j}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ji}^{a}g_{ak}-\Gamma _{jk}^{a}g_{ia}=0}
であり、添字を並べ替え、補うことにより、上式を計量テンソルの関数として接続の記号について陽に解いて
Γ
k
j
l
=
1
2
g
l
m
(
∂
g
m
k
∂
x
j
+
∂
g
m
j
∂
x
k
−
∂
g
k
j
∂
x
m
)
=
{
l
k
j
}
{\displaystyle \Gamma _{kj}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kj}}{\partial x^{m}}}\right)=\left\{{{l} \atop {k\;j}}\right\}}
と、接続の記号としてクリストッフェル記号を導出することができる[ 注釈 10]
編集
定義から明らかに
{
i
j
k
}
=
{
i
k
j
}
{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}=\left\{{{i} \atop {k\;j}}\right\}}
が成り立つ。
編集
第二種クリストッフェル記号について、座標系 x h u h h = 1, 2, ..., n)
∂
x
i
∂
u
a
{
a
b
c
¯
}
=
∂
x
j
∂
u
b
∂
x
k
∂
u
c
{
i
j
k
}
+
∂
2
x
i
∂
u
b
∂
u
c
{\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{a}}}\left\{{\overline {{a} \atop {b\;c}}}\right\}={\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{b}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial u^{c}}}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}+{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{b}\partial u^{c}}}}
ここで、上線は u -座標系に関するクリストッフェル記号であることを表す。 となる。この式から第二種クリストッフェル記号はテンソルの成分ではないことが判る。
編集
曲面上のすべての点でクリストッフェル記号が 0 となるような座標系が存在するならば、その曲面は伸縮することなく平面上に展開可能なものだけであり、それ以外の場合には、曲面上のすべての点で
{
i
j
k
}
=
0
{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}=0}
[ 3] x i 0
{
i
j
k
}
0
=
0
{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}=0}
[ 注釈 11]
ここで、
x
i
−
x
0
i
=
u
i
−
1
2
{
i
j
k
}
0
u
j
u
k
{\displaystyle x^{i}-x_{0}^{i}=u^{i}-{\frac {1}{2}}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}u^{j}u^{k}}
u
0
i
=
0
{\displaystyle u_{0}^{i}=0}
なる座標変換を行う。このとき、uh で偏微分を行うと
∂
x
i
∂
u
h
=
δ
h
i
−
1
2
(
∂
{
i
j
k
}
0
∂
u
h
u
j
u
k
+
{
i
j
k
}
0
δ
h
j
u
k
+
{
i
j
k
}
0
u
j
δ
h
k
)
=
δ
h
i
−
1
2
∂
{
i
j
k
}
0
∂
u
h
u
j
u
k
−
{
i
h
k
}
0
u
k
{\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{h}}}=\delta _{h}^{i}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}+\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}\delta _{h}^{j}u^{k}+\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}u^{j}\delta _{h}^{k}\right)=\delta _{h}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}-\left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}u^{k}}
となり、さらに ul で偏微分を行うと
∂
2
x
i
∂
u
l
∂
u
h
=
−
1
2
(
∂
2
{
i
j
k
}
0
∂
u
l
∂
u
h
u
j
u
k
+
∂
{
i
j
k
}
0
∂
u
h
δ
l
j
u
k
+
∂
{
i
j
k
}
0
∂
u
h
u
j
δ
l
k
)
−
∂
{
i
h
k
}
0
∂
u
l
u
k
−
{
i
h
k
}
0
δ
l
k
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}u^{j}u^{k}+{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}\delta _{l}^{j}u^{k}+{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{h}}}u^{j}\delta _{l}^{k}\right)-{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}}{\partial u^{l}}}u^{k}-\left\{{{i} \atop {h\;k}}\right\}_{0}\delta _{l}^{k}}
となる。したがって、x i x i 0 u i
(
∂
x
i
∂
u
h
)
0
=
δ
h
i
,
(
∂
2
x
i
∂
u
l
∂
u
h
)
0
=
−
{
i
h
l
}
0
{\displaystyle \left({\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{h}}}\right)_{0}=\delta _{h}^{i},\;\;\;\left({\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{l}\partial u^{h}}}\right)_{0}=-\left\{{{i} \atop {hl}}\right\}_{0}}
を得る。よって、ある一点 x i 0
(
∂
x
i
∂
u
k
)
0
{
k
h
l
¯
}
0
=
(
∂
x
j
∂
u
h
)
0
(
∂
x
k
∂
u
l
)
0
{
i
j
k
}
0
+
(
∂
2
x
i
∂
u
h
∂
u
l
)
0
=
δ
h
j
δ
l
k
{
i
j
k
}
0
−
{
i
h
l
}
0
=
0
{\displaystyle \left({\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{k}}}\right)_{0}\left\{{\overline {{k} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=\left({\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{h}}}\right)_{0}\left({\frac {\partial x^{k}}{\partial u^{l}}}\right)_{0}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial u^{h}\partial u^{l}}}\right)_{0}=\delta _{h}^{j}\delta _{l}^{k}\left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}_{0}-\left\{{{i} \atop {h\;l}}\right\}_{0}=0}
であることから、
δ
k
i
{
k
h
l
¯
}
0
=
{
i
h
l
¯
}
0
=
0
{\displaystyle \delta _{k}^{i}\left\{{\overline {{k} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=\left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0}
すなわち、クリストッフェル記号はある一点 x i 0
このような座標系を、点 u 0 = 0測地座標系 （geodetic coordinate system ）と呼ぶ。なお、測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する[ 4]
編集
一階共変テンソルを w i
∇
j
w
i
=
∂
w
i
∂
x
j
−
{
a
j
i
}
w
a
{\displaystyle \nabla _{j}w_{i}={\frac {\partial w_{i}}{\partial x^{j}}}-\left\{{{a} \atop {j\;i}}\right\}w_{a}}
で定義される。座標系 (x h u h
{
i
h
l
¯
}
0
=
0
{\displaystyle \left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0}
したがって、w i u i
(
∇
j
w
i
)
0
=
(
∂
w
i
∂
u
j
)
0
{\displaystyle \left(\nabla _{j}w_{i}\right)_{0}=\left({\frac {\partial w_{i}}{\partial u^{j}}}\right)_{0}}
と、共変微分と通常の微分が一致する。
n 次元リーマン多様体の基本計量テンソル g ij n × n g
g
=
det
(
g
i
j
)
=
|
g
11
g
12
⋯
g
21
g
22
⋯
⋮
⋮
⋱
|
{\displaystyle g=\det(g_{ij})=\left|{\begin{array}{ccc}g_{11}&g_{12}&\cdots \\g_{21}&g_{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right|}
を定義することができる。ここで、g ij G ij g を x k
∂
g
∂
x
k
=
∂
g
∂
g
i
j
∂
g
i
j
∂
x
k
=
G
i
j
∂
g
i
j
∂
x
k
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=G_{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}}
となる[ 注釈 12] G ij gg ij
∂
g
∂
x
k
=
g
g
i
j
∂
g
i
j
∂
x
k
=
g
g
i
j
(
g
i
a
{
a
j
k
}
+
g
a
j
{
a
i
k
}
)
=
g
(
δ
a
j
{
a
j
k
}
+
δ
a
i
{
a
i
k
}
)
=
g
(
{
a
a
k
}
+
{
a
a
k
}
)
=
2
g
{
a
a
k
}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}&=gg^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=gg^{ij}\left(g_{ia}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+g_{aj}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)\\&=g\left(\delta _{a}^{j}\left\{{{a} \atop {j\;k}}\right\}+\delta _{a}^{i}\left\{{{a} \atop {i\;k}}\right\}\right)=g\left(\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}+\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\right)\\&=2g\left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}\end{aligned}}}
よって
{
a
a
k
}
=
{
a
k
a
}
=
1
2
1
g
∂
g
∂
x
k
=
∂
log
g
∂
x
k
=
1
g
∂
g
∂
x
k
{\displaystyle \left\{{{a} \atop {a\;k}}\right\}=\left\{{{a} \atop {k\;a}}\right\}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}}{\partial x^{k}}}}
が得られる。
^ 詳しい導出は矢野(1949) p.121 参照。
^ クリストッフェル記号は、微分幾何学 において実際的な計算を行うのに利用できる。例えば、リーマン曲率テンソル はクリストッフェル記号とその一階偏導函数 の言葉で完全に表すことができる。
^ 台となる n -次元多様体の各点で、任意の局所座標系に対して、クリストッフェル記号はサイズが n × n × n 多次元配列 であり、n 3 実数 である。
^
多様体上の線型 な座標変換 の下ではテンソル のように振舞うが、一般の座標変換の下では異なる挙動を示す。（与えられた座標系や計量テンソルがいくつかのよくある対称性を持つような）実用上の多くの問題において、クリストッフェル記号のほとんどの成分は 0 である。
^
一般相対性理論 において、クリストッフェル記号は重力ポテンシャル が「計量テンソル」であるような重力場 の役割を果たす。
^ 一般にテンソルについては添字の上付きと下付き（反変と共変）とを注意して区別しなければならない。
^ このようにn 次元の微分多様体であって、各座標近傍内に基本計量テンソルが与えられているものをリーマン多様体 と呼ぶ。
^ すなわち、接続の記号の具体的な表現が不明なまま形式的に共変微分が定義されている場合を指す。
^ なお、通常リーマン多様体 M 上の共変微分を定義する場合、定義の段階で接続の記号としてクリストッフェル記号を用いるのが一般的である。
^ ここで行列 (g jk g jk クロネッカーのデルタ と和の規約 を用いてg ji g ik δ j k
^ 以後、
x
i
=
x
0
i
{\displaystyle x^{i}=x_{0}^{i}}
^ 余因子行列と行列式の間に
∂
g
∂
g
i
j
=
G
i
j
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=G_{ij}}
[ 5]
^ E.B.Christoffel (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 70 : 46-70 ^ 相対論(1958) p.75^ 矢野(1949) p. 204.^ 矢野(1949) pp.204-205^ 現代代数学(1967) p.384
![{\displaystyle \left[j\;k,a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acdd7487f41a0cd299a9dd1a3af50ce163ae49f)
![{\displaystyle \left[j\;k,a\right]={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ka}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c5f49062dffccaa16977b0251b622630df0e93)
![{\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}={\frac {1}{2}}g^{ia}\left({\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ka}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)=g^{ia}\left[j\;k,a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689dcbc74d3779ee0523327d47dc0966e2ea4bfd)
