エネルギー・運動量テンソル

質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述したテンソル場

エネルギー・運動量テンソル(エネルギー・うんどうりょうテンソル、英語: energy-momentum tensorstress-energy tensorstress-energy-momentum tensor)とは、質量密度エネルギー密度エネルギー流運動量密度応力相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。

一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。

エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、 とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル は、定義から明らかに対称テンソルである。

以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号はとする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義

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エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。

作用積分

 

と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。

従って、場は

 

と変換される。

エネルギー・運動量テンソルは

  •  

となる。この定義には任意性があり、  により

 

で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。

別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。 一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が

 

で書かれているとき、計量 g による作用の汎関数微分は

 

である。従って、エネルギー運動量テンソルは

 

で与えられる。


各成分の意味

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応力エネルギーテンソル
  • 時間-時間成分、即ち   は、エネルギー密度である。
  • 時間-空間成分、即ち   は、 の方向へのエネルギーの流れである。
  • 空間-時間成分、即ち   は、i-成分の運動量密度である。
  • 空間成分、即ち   は、 の方向への i-成分の運動量の流れである。

相対論的粒子

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相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は

 

であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが

 

と導かれる。補助変数 γi から導かれる拘束条件   を用いれば

 

となる。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

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物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

 

  は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、   は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、 、流体速度を  と観測する場合には )である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、 となるから、行列形式で成分を書くと

 

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

 

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

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電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。時空の計量 g を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は

 

である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは

 

となる。 T00 は電磁場のエネルギー密度T0jポインティング・ベクトルTijマクスウェルの応力テンソルである。

関連項目

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