エタール・コホモロジー

エタール・コホモロジー(étale[1] cohomology)はアレクサンドル・グロタンディークヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。エタール・コホモロジーはヴェイユ・コホモロジーの一種であるℓ進コホモロジーを構成する枠組みを与える。代数幾何学における基本的な道具の一つで、非常に多くの応用を持ち、ヴェイユ予想への貢献やフェルマーの最終定理の証明の際にも用いられた。

定義

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任意のスキームXに対してエタール射u:AX全体からなるEt(X)であらわす。この圏は位相空間Sの開部分集合の圏Top(S)の類似であって普通の開埋め込み射をエタール射に置き換えたものとみられる。しかしながらザリスキ位相の開埋め込み射よりもエタール射のほうが数が多くなっており、その分位相は細かくなっている。この位相を用いることによって通常のの理論とまったく同様に、Et(X)上に前層および層を定義することができる。それらをエタール前層およびエタール層とよぶ。

Et(X)上の層の成す圏は通常と同様にやはりアーベル圏であり、アーベル圏の理論もしくは導来関手の理論を用いることにより、エタール層Fに対してコホモロジー

 

の存在および一意性が証明される。これがエタール・コホモロジーである。

もっと一般的には、同様の手順によって、任意のの上でそのグロタンディーク位相を用いて層を定義し、コホモロジー理論を構成することができる。景の言葉を用いるならエタール・コホモロジーはエタール景上のコホモロジーと言い換えることができる。

ℓ進コホモロジー群

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エタール・コホモロジーは係数がZ/nZの場合には上手く働くが、ねじれを持たない(たとえば整係数や有理係数)場合は満足する結果を与えない。エタール・コホモロジーからねじれを持たないコホモロジー群を得るためには、ねじれを持つ係数のエタール・コホモロジーの逆極限をとればよい。これはℓ進コホモロジーもしくはℓ進エタール・コホモロジーと呼ばれる。ここでℓは考えているスキームV標数pとは異なる任意の素数を表す。たとえば定数層Z/ℓkZのエタール・コホモロジー

 

の逆極限

 

としてℓ進コホモロジーが定義される。ここで注意しなければならないのだが、コホモロジー(右導来関手をとる操作)は逆極限をとる操作と可換ではない。したがってこのℓ進コホモロジーはエタール層Zに係数をもつエタール・コホモロジーとは異なるものである。後者のコホモロジーは存在するが"悪い"コホモロジー群を与える。

ℓ進コホモロジーからねじれ部分群を取り除き、標数0の体上のベクトル空間としてコホモロジー群を得たいならば

 

と定義する。ここでこの記法は誤解を与えるのだが、Qはエタール層でもℓ進層でもない。

性質

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一般的に多様体のℓ進コホモロジー群は複素多様体の特異コホモロジー群と似たような性質を持つ。ただ特異コホモロジーは整数もしくは有理数上の加群であるのに対して、ℓ進コホモロジーはℓ進整数もしくはℓ進数上の加群になる。非特異な射影多様体上のℓ進コホモロジーはポアンカレ双対性を満たすほかケネスの公式も満たす。

一方ℓ進コホモロジーは特異コホモロジーと異なり、ガロア群の作用を持つという性質がある。たとえば有理数体上定義された複素多様体のℓ進コホモロジー群は有理数体の絶対ガロア群の作用を持ち、ガロア表現と関係が深い。

いくつかの計算例

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Hi(X, Gm)

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ここでPic(X)はピカール群

 

Hi(X, μn)

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μnを1のn乗根の層、nは体kの標数と素とする。エタール層におけるクンマーの完全系列

 

より長完全系列

 
 

を得るが、ここに上記の結果H0(X, Gm)=k*、H1(X, Gm)=Pic(X)およびi>1に対してHi(X, Gm)=0を代入することによって

 
 

となる。下式からH1(X, μn)=Pic(X)のn等分点の成す群、H2(X, μn)=Z/nZおよびその他は0とわかる。

脚注

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  1. ^ (fr:Étale)仏語で、[形]静止した;(潮,河川が)動きの止まった,『海』停潮 (ポケットプログレッシブ仏和・和仏辞典 第3版(仏和の部)の解説(コトバンク)) [1]

参考文献

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  • Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press
  • Gunter Tamme, Introduction to Etale Cohomology
  • Fu, Lei, "Etale Cohomology Theory". (2011, 2015), Nankai Tracts in Mathematics, 13, World Scientific Publishing,
  • 斎藤秀司・佐藤周友 (2012),代数的サイクルとエタールコホモロジー,シュプリンガー現代数学シリーズ,丸善出版

関連項目

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