ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 (英: Wedderburn's little theorem) はすべての有限域が体であることを述べるものである。言い換えると、有限環において、域、斜体、体の違いはない。

アルティン・ツォルンの定理はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。

歴史

最初の証明は Joseph Wedderburn によって1905年に与えられ、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、(Parshall 1983) に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって Skolem–Noether の定理 の帰結である。D を有限可除代数で中心を k とする。[D : k] = n² とし q を k の濃度とする。D のすべての極大部分体は qⁿ 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 D の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって n = 1 である。

有限体の Brauer 群との関係

定理は本質的に、有限体の Brauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。k を有限体とする。Herbrand 商は有限性によって消えるから、$\operatorname {Br} (k)=H^{2}(k^{\text{al}}/k)$ は $H^{1}(k^{\text{al}}/k)$ と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。

証明の概略

A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像

$a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A$

は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論からA の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は n = 1 を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は qⁿ である。中心に入っていない各 x ∈ A に対して、x の centralizer Z_x の位数は q^d である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A)^*, Z_x^*, A^* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける

$q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}$

ただし和は Z(A) に入っていないすべての代表元 x を渡り、d は上で議論された数である。qⁿ−1 と q^d−1 はともに円分多項式 $\Phi _{f}(q)$ のことばによって分解できる。

多項式の恒等式

$x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)$　および　$x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)$

から、x = q とおくと、

$\Phi _{n}(q)$　は qⁿ−1 と ${q^{n}-1 \over q^{d}-1}$ をともに割り切る

ことがわかるので、上の類等式によって $\Phi _{n}(q)$ は q−1 を割らなければならず、したがって

$|\Phi _{n}(q)|\leq q-1$.

これによって n が 1 でなければならないことを見るために、n > 1 に対して

$|\Phi _{n}(q)|>q-1$

であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式

$\Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta )$,

ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると

$|\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |$.

n > 1 に対して

$|q-\zeta |>|q-1|$

であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって

$|\Phi _{n}(q)|>q-1$.

参考文献

• Parshall, K. H. (1983). “In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen”. Archives of International History of Science 33: 274–99. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate texts in mathematics. 131 (2 ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0 

外部リンク

• Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math