ウィーンの変位則

ウィーンの変位則（ウィーンのへんいそく、英: Wien's displacement law）とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。

なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。

関係式

\lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}

ここで $T$ は黒体の温度(K)、 $λ max$ はピーク波長(m)、 $b$ は比例定数であり、

その値は

b=

2.897771955...×10⁻³ m⋅K

である^[1]。

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる（色温度も参照）。

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 $u$ は次式で表される：

u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}

波長の最大値 $λ max$ を求めるために、波長分布 $u (λ)$ を $λ$ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

{\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}\,{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}

ここで $x = hc / λ max kT$ とすると、

{\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0

となる。この解はランベルトのW関数で、

x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276

と表される。 $x$ から $λ max$ を求めると、

\lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}

を得る。

振動数で表示されたプランクの公式

R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、 $x = hν max / kT$ は

\left(3-x\right)e^{x}=3

の解で、

x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214

となる。したがってピークにおける振動数は

\nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}

となる。 $\lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c$ ではないことに注意が必要である。