数学において、アベル・プラナの和公式(英: Abel–Plana summation formula)は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である[1]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )\\&\sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eab15662cba6e3782e7ca2f454e2e92e923bf21)
但し、
が
において正則であり、
について一様に
![{\displaystyle \lim _{y\to +\infty }e^{-2{\pi }y}f(x{\pm }iy)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f301807a1da85e031cec189bead64bcd4c80024)
であることを条件とする。更に
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {f(x{\pm }iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4525cd42904d4776c3cb304f6c106040bd7d3388)
であれば
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7c98fa56723fd5ed64c85a15c1ddee7af24c7b)
となる。
は に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路 が実軸を で切るようにすれば、留数の定理により、
-
である。積分経路の表記を
-
とすると、
-
であるが、 は仮定により正則であるから、
-
である。さて、
-
であり、仮定により
-
であるから
-
である。また、
-
であるから、以上を綜合して
-
を得る。また、 が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
-
となる。