アフィンルート系

数学において，アフィンルート系（英: affine root system）はユークリッド空間上のアフィン線型写像のルート系である．それらはアフィンリー代数や超代数，半単純 p-進代数群の分類において用いられ，マクドナルド多項式の族に対応する．被約アフィンルート系はカッツとムーディによってカッツ・ムーディ代数についての彼らの研究において用いられた．被約とは限らないアフィンルート系は Macdonald (1972) と Bruhat & Tits (1972) によって導入され分類された（これら2つの論文は誤ってディンキン図形 を省いていたことを除いて）．

G₂ 型のアフィンルート系．

分類

アフィンルート系 A₁ = B₁ = B∨
1 = C₁ = C∨
1 は同じであり，また B₂ = C₂, B∨
2 = C∨
2, A₃ = D₃ である．

表で与えられている軌道の個数はワイル群の下での単純ルートの軌道の個数である．ディンキン図形において，被約でない単純ルート α（で 2α がルートのもの）は緑色に塗られている．系列の最初のディンキン図形は他のと同じ規則に従わないことがある．

アフィンルート系	軌道の個数	ディンキン図形
An (n ≥ 1)	2 if n = 1; 1 if n ≥ 2	, , , , ...
Bn (n ≥ 3)	2	, ,, ...
B∨ n (n ≥ 3)	2	, ,, ...
Cn (n ≥ 2)	3	, , , ...
C∨ n (n ≥ 2)	3	, , , ...
BCn (n ≥ 1)	2 if n = 1; 3 if n ≥ 2	, , , , ...
Dn (n ≥ 4)	1	, , , ...
E6	1
E7	1
E8	1
F4	2
F∨ 4	2
G2	2
G∨ 2	2
(BCn, Cn) (n ≥ 1)	3 if n = 1; 4 if n ≥ 2	, , , , ...
(C∨ n, BCn) (n ≥ 1)	3 if n = 1; 4 if n ≥ 2	, , , , ...
(Bn, B∨ n) (n ≥ 2)	4 if n = 2; 3 if n ≥ 3	, , ,, ...
(C∨ n, Cn) (n ≥ 1)	4 if n = 1; 5 if n ≥ 2	, , , , ...

階数による既約アフィンルート系

Rank 1: A₁, BC₁, (BC₁, C₁), (C∨
1, BC₁), (C∨
1, C₁).

Rank 2: A₂, C₂, C∨
2, BC₂, (BC₂, C₂), (C∨
2, BC₂), (B₂, B∨
2), (C∨
2, C₂), G₂, G∨
2.

Rank 3: A₃, B₃, B∨
3, C₃, C∨
3, BC₃, (BC₃, C₃), (C∨
3, BC₃), (B₃, B∨
3), (C∨
3, C₃).

Rank 4: A₄, B₄, B∨
4, C₄, C∨
4, BC₄, (BC₄, C₄), (C∨
4, BC₄), (B₄, B∨
4), (C∨
4, C₄), D₄, F₄, F∨
4.

Rank 5: A₅, B₅, B∨
5, C₅, C∨
5, BC₅, (BC₅, C₅), (C∨
5, BC₅), (B₅, B∨
5), (C∨
5, C₅), D₅.

Rank 6: A₆, B₆, B∨
6, C₆, C∨
6, BC₆, (BC₆, C₆), (C∨
6, BC₆), (B₆, B∨
6), (C∨
6, C₆), D₆, E₆,

Rank 7: A₇, B₇, B∨
7, C₇, C∨
7, BC₇, (BC₇, C₇), (C∨
7, BC₇), (B₇, B∨
7), (C∨
7, C₇), D₇, E₇,

Rank 8: A₈, B₈, B∨
8, C₈, C∨
8, BC₈, (BC₈, C₈), (C∨
8, BC₈), (B₈, B∨
8), (C∨
8, C₈), D₈, E₈,

Rank n (n>8): A_n, B_n, B∨
n, C_n, C∨
n, BC_n, (BC_n, C_n), (C∨
n, BC_n), (B_n, B∨
n), (C∨
n, C_n), D_n.

応用

• Macdonald (1972) はアフィンルート系がマクドナルド恒等式を添え字付けることを示した．
• Bruhat & Tits (1972) はアフィンルート系を用いて p-進代数群を研究した．
• 被約アフィンルート系はアフィンカッツ・ムーディ代数を分類し，被約でないアフィンルート系はアフィンリー超代数と対応する．
• Macdonald (2003) はアフィンルート系がマクドナルド多項式の族を添え字付けることを示した．

参考文献

• Bruhat, F.; Tits, Jacques (1972), “Groupes réductifs sur un corps local”, Publications Mathématiques de l'IHÉS 41: 5–251, doi:10.1007/bf02715544, ISSN 1618-1913, MR0327923, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1972__41__5_0 
• Macdonald, I. G. (1972), “Affine root systems and Dedekind's η-function”, Inventiones Mathematicae 15: 91–143, doi:10.1007/BF01418931, ISSN 0020-9910, MR0357528 
• Macdonald, I. G. (2003), Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials, Cambridge Tracts in Mathematics, 157, Cambridge: Cambridge University Press, pp. x+175, doi:10.2277/0521824729, ISBN 978-0-521-82472-9, MR1976581