久保公式

久保公式（くぼこうしき）は、時間依存する摂動による物理量の線形応答を表した式である。

一般的な久保公式

時間依存しないハミルトニアン${\hat {H}}_{0}$で記述される量子系を考える。物理量${\hat {A}}$の期待値は次のように表される。

${\begin{aligned}\langle {\hat {A}}\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho _{0}}}&=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}$

ここで$Z_{0}=Tr[\rho _{0}]$は分配関数である。 平衡状態にあった系に、時刻$t=t_{0}$に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0})$で記述される。密度行列${\hat {\rho }}(t)$と${\hat {A}}(t)$の期待値の時間発展は次のように表される。

${\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho (t)}}&=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}$

状態 $|n(t)\rangle$の時間発展はシュレーディンガー方程式$i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle$によって支配されている。 ${\hat {V}}(t)$は小さい摂動と見なせるので、相互作用描像$|{\hat {n}}(t)\rangle$を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける

${\begin{aligned}|n(t)\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle \\|{\hat {n}}(t_{0})\rangle &=e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle \end{aligned}}$

${\hat {V}}(t)$の線形次数においては、${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$である。 よって線形次数で摂動による期待値${\hat {A}}(t)$を得る。

${\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{aligned}}$

ここで括弧$\langle \rangle _{0}$は熱平衡状態${\hat {H}}_{0}$での平均値を表す。

関連項目

• 線形応答理論
• グリーン-久保公式

外部リンク

• 『久保の公式』 - コトバンク