一般化タクシー数(いっぱんかタクシーすう、generalized taxicab number)Taxicab(k, j, n) とは、k 乗数の和 j 個で n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3 かつ j = 2 である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n) となる。例えば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Taxicab} (1,2,2)&=4=1+3=2+2,\\\mathrm {Taxicab} (1,2,3)&=6=1+5=2+4=3+3,\\\mathrm {Taxicab} (2,2,2)&=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2},\\\mathrm {Taxicab} (2,2,3)&=325=1^{2}+18^{2}=6^{2}+17^{2}=10^{2}+15^{2},\\\mathrm {Taxicab} (3,2,2)&=\mathrm {Ta} (2)=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f688930aca17fd828e1d208716346c166e661f)
である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことが示されている。
![{\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785e1fcbfd5cc8e1488581e84362639c806d565c)
しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない[1]。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数の差として3通りの方法であらわせる例
![{\displaystyle 25900232113758000049920=401168^{4}-17228^{4}=415137^{4}-248289^{4}=421296^{4}-273588^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e7de9e9180c2abf1fc4fcc6cfcb18506b3e77b)
を発見した(Zajta 1983)。
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- Taxicab(k,2,2)はA016078をTaxicab(k,3,2)はA230563を参照。
参考文献
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関連項目
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